Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 42
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30),P(0;120;30),Q(0;0;30)$ (Hình).
Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_0M=K_0N=K_0P=K_0Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng 19. Tìm tọa độ của các điểm $K_0,K_1$ và vectơ $\overrightarrow{K_0K_1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I(x_I;y_I;z_I)$ là tâm của hình chữ nhật $MNPQ$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=(x_I-90;y_I-0;z_I-30),\overrightarrow{IP}=(0-x_I;120-y_I;30-z_I)$.
$I$ là trung điểm của $MP$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{IP}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_I-90=0-x_I\\y_I-0=120-y_I\\z_I-30=30-z_I\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_I=45\\y_I=60\\z_I=30\end{array}\right.$
Vậy toạ độ điểm $I(45;60;30)$.
Các điểm $I,K_0,K_1$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Mà $K_0$ có cao độ bằng 25 nên $K_0(45;60;25);K_1$ có cao độ bằng 19 nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0K_1}=(0;0;-6)$.
