Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Cấp số cộng · Bài 19
Tính các tổng sau:
a). $S=1+3+5+\cdots+(2n-1)+(2n+1)$
b). $S=1+4+7+\cdots+(3n-2)+(3n+1)+(3n+4)$
c). $S=100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\ldots+2^{2}-1^{2}$
a). $S=1+3+5+\cdots+(2n-1)+(2n+1)$
b). $S=1+4+7+\cdots+(3n-2)+(3n+1)+(3n+4)$
c). $S=100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\ldots+2^{2}-1^{2}$
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có dãy số $1,3,5,\cdots,(2n-1),(2n+1)$ là cấp số cộng với công sai $d=2$ và $u_1=1$, số hạng tổng quát $u_m=2n+1$. Do đó có $2n+1=u_1+(m-1)d\Leftrightarrow 2n+1=1+(m-1).2\Rightarrow m=n+1$.
Vậy $S_{n+1}=\frac{\left( n+1 \right)\left( 2u_1+nd \right)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}$.
b). Ta có dãy số $1,4,7,\cdots,(3n-2),(3n+1),(3n+4)$ là cấp số cộng với công sai $d=3$ và $u_1=1$, số hạng tổng quát $u_m=3n+4$. Do đó có: $3n+4=u_1+\left( m-1 \right)d\Leftrightarrow 3n+4=1+\left( m-1 \right).3\Rightarrow m=n+2$
Vậy $S_{n+2}=\frac{m\left( 2u_1+(m-1)d \right)}{2}=\frac{(n+2)\left[ 2+(n+1)3 \right]}{2}=\frac{(n+2)(3n+5)}{2}$.
c). $S=100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\ldots+2^{2}-1^{2}$
$=\left( 100-99 \right)\left( 100+99 \right)+\left( 98-97 \right)\left( 98+97 \right)+\ldots+\left( 2-1 \right)\left( 2+1 \right)$
$=199+195+\ldots+3$
Ta có dãy số $3,7,\ldots,195,199$ là cấp số cộng với công sai $d=4$, số hạng đầu tiên $u_1=3$ và số hạng n là $u_n=199$.
Do đó có $199=3+\left( n-1 \right).4\Rightarrow n=50$.
Vậy $S=\frac{50\left( 2.3+49.4 \right)}{2}=5050$.
Vậy $S_{n+1}=\frac{\left( n+1 \right)\left( 2u_1+nd \right)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}$.
b). Ta có dãy số $1,4,7,\cdots,(3n-2),(3n+1),(3n+4)$ là cấp số cộng với công sai $d=3$ và $u_1=1$, số hạng tổng quát $u_m=3n+4$. Do đó có: $3n+4=u_1+\left( m-1 \right)d\Leftrightarrow 3n+4=1+\left( m-1 \right).3\Rightarrow m=n+2$
Vậy $S_{n+2}=\frac{m\left( 2u_1+(m-1)d \right)}{2}=\frac{(n+2)\left[ 2+(n+1)3 \right]}{2}=\frac{(n+2)(3n+5)}{2}$.
c). $S=100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\ldots+2^{2}-1^{2}$
$=\left( 100-99 \right)\left( 100+99 \right)+\left( 98-97 \right)\left( 98+97 \right)+\ldots+\left( 2-1 \right)\left( 2+1 \right)$
$=199+195+\ldots+3$
Ta có dãy số $3,7,\ldots,195,199$ là cấp số cộng với công sai $d=4$, số hạng đầu tiên $u_1=3$ và số hạng n là $u_n=199$.
Do đó có $199=3+\left( n-1 \right).4\Rightarrow n=50$.
Vậy $S=\frac{50\left( 2.3+49.4 \right)}{2}=5050$.