Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 31
(THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+5x+2}{2x+1}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $2021f\left(\sqrt{3x^2-18x+28}\right)-m\sqrt{3x^2-18x+28}\geq m+4042$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $[2;4]$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $u=\sqrt{3x^2-18x+28}=\sqrt{3(x-3)^2+1}=\sqrt{3(x-2)(x-4)+4}$ do đó ta có với $\forall x\in[2;4]$ thì $u\in[1;2]$.
Biến đổi BPT ta được $2021f(u)-m\cdot u\geq m+4042$ $\Leftrightarrow 2021[f(u)-2]\geq m(u+1)$.
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x+2}{2x+1}$ nên $f(u)-2=\frac{u^2+5u+2}{2u+1}-2=\frac{u^2+u}{2u+1}$ do vậy bất phương trình được biến đổi tiếp $\frac{2021(u^2+u)}{2u+1}\geq m(u+1)\Leftrightarrow m\leq\frac{2021u}{2u+1}$.
Lúc này yêu cầu bài toán tương đương $m\leq\frac{2021u}{2u+1},\forall u\in[1;2]$ $\Leftrightarrow m\leq\min\limits_{u\in[1;2]}g(u)$.
Xét hàm số $g(u)=\frac{2021u}{2u+1},u\in[1;2]$ ta có $g'(u)=\frac{2021}{(2u+1)^2}>0,\forall u\in[1;2]$ do vậy hàm số $g(u)$ tăng trên đoạn $[1;2]$. Vì vậy $\min\limits_{u\in[1;2]}g(u)=g(1)=\frac{2021}{3}$.
Kết hợp với $m$ là các số nguyên dương ta được $m\in\{1;2;3;\ldots;673\}$.
Vậy tìm được $673$ số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biến đổi BPT ta được $2021f(u)-m\cdot u\geq m+4042$ $\Leftrightarrow 2021[f(u)-2]\geq m(u+1)$.
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x+2}{2x+1}$ nên $f(u)-2=\frac{u^2+5u+2}{2u+1}-2=\frac{u^2+u}{2u+1}$ do vậy bất phương trình được biến đổi tiếp $\frac{2021(u^2+u)}{2u+1}\geq m(u+1)\Leftrightarrow m\leq\frac{2021u}{2u+1}$.
Lúc này yêu cầu bài toán tương đương $m\leq\frac{2021u}{2u+1},\forall u\in[1;2]$ $\Leftrightarrow m\leq\min\limits_{u\in[1;2]}g(u)$.
Xét hàm số $g(u)=\frac{2021u}{2u+1},u\in[1;2]$ ta có $g'(u)=\frac{2021}{(2u+1)^2}>0,\forall u\in[1;2]$ do vậy hàm số $g(u)$ tăng trên đoạn $[1;2]$. Vì vậy $\min\limits_{u\in[1;2]}g(u)=g(1)=\frac{2021}{3}$.
Kết hợp với $m$ là các số nguyên dương ta được $m\in\{1;2;3;\ldots;673\}$.
Vậy tìm được $673$ số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.