Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 30
(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số $y=\frac{(x^2-2x+m)^2-3x-m}{x-3}\,\,(C)$ và đường thẳng $(d):y=2x$ ($m$ là tham số thực). Số giá trị nguyên của $m\in[-15;15]$ để đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị $(C)$ tại bốn điểm phân biệt là
Xem lời giải
Lời giải
Xét pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$\frac{(x^2-2x+m)^2-3x-m}{x-3}=2x\Leftrightarrow (x^2-2x+m)^2-3x-m=2x^2-6x\,\,(x\neq 3)\\\Leftrightarrow (x^2-2x+m)^2=2x^2-3x+m\,\,(x\neq 3)\,\,(*)$
Đặt: $x^2-2x+m=t$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2-2x+m=t\\t^2=2x^2-3x+m\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2x-t+m=0\\2x^2-t^2-3x+m=0\end{array}\right.$
$\Rightarrow x^2-t^2-x+t=0\Rightarrow(x-t)(x+t-1)=0\Rightarrow\left[\begin{array}{l}t=x\\t=1-x\end{array}\right.$
Suy ra: $\left[\begin{array}{l}x^2-2x+m=x\\x^2-2x+m=1-x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2-3x+m=0\quad(1)\\x^2-x+m-1=0\quad(2)\end{array}\right.$
YCBT $\Leftrightarrow (*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt khác 3 $\Leftrightarrow (1),\,(2)$ đều phải có hai nghiệm pb khác 3 và các nghiệm của chúng không trùng nhau.
- $(1),\,(2)$ đều có hai nghiệm pb khác 3 khi: $\left\{\begin{array}{l}9-4m>0\\3^2-3\cdot 3+m\neq 0\\1-4(m-1)>0\\3^2-3+m-1\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<\frac{9}{4}\\m\neq 0\\m<\frac{5}{4}\\m\neq -5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1,25\\m\neq 0\\m\neq -5\end{array}\right.\quad(**)$
- $(1),\,(2)$ không có nghiệm trùng nhau $\Leftrightarrow$ Hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2-3x+m=0\\x^2-x+m-1=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x-1=0\\x^2-3x+m=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x^2-3x+m=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2-3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+m\neq 0$
$\Leftrightarrow m\neq\frac{5}{4}\quad(***)$
Vậy số giá trị nguyên của $m\in[-15;15]$ đồng thời thỏa mãn $(**)$ và $(***)$ là 15.
$\frac{(x^2-2x+m)^2-3x-m}{x-3}=2x\Leftrightarrow (x^2-2x+m)^2-3x-m=2x^2-6x\,\,(x\neq 3)\\\Leftrightarrow (x^2-2x+m)^2=2x^2-3x+m\,\,(x\neq 3)\,\,(*)$
Đặt: $x^2-2x+m=t$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2-2x+m=t\\t^2=2x^2-3x+m\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2x-t+m=0\\2x^2-t^2-3x+m=0\end{array}\right.$
$\Rightarrow x^2-t^2-x+t=0\Rightarrow(x-t)(x+t-1)=0\Rightarrow\left[\begin{array}{l}t=x\\t=1-x\end{array}\right.$
Suy ra: $\left[\begin{array}{l}x^2-2x+m=x\\x^2-2x+m=1-x\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2-3x+m=0\quad(1)\\x^2-x+m-1=0\quad(2)\end{array}\right.$
YCBT $\Leftrightarrow (*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt khác 3 $\Leftrightarrow (1),\,(2)$ đều phải có hai nghiệm pb khác 3 và các nghiệm của chúng không trùng nhau.
- $(1),\,(2)$ đều có hai nghiệm pb khác 3 khi: $\left\{\begin{array}{l}9-4m>0\\3^2-3\cdot 3+m\neq 0\\1-4(m-1)>0\\3^2-3+m-1\neq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<\frac{9}{4}\\m\neq 0\\m<\frac{5}{4}\\m\neq -5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<1,25\\m\neq 0\\m\neq -5\end{array}\right.\quad(**)$
- $(1),\,(2)$ không có nghiệm trùng nhau $\Leftrightarrow$ Hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2-3x+m=0\\x^2-x+m-1=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x-1=0\\x^2-3x+m=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x^2-3x+m=0\end{array}\right.$ Vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2-3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+m\neq 0$
$\Leftrightarrow m\neq\frac{5}{4}\quad(***)$
Vậy số giá trị nguyên của $m\in[-15;15]$ đồng thời thỏa mãn $(**)$ và $(***)$ là 15.