(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu $m$ nguyên dương để hai đường cong $\left(C_1\right):y=\left|2+\frac{2}{x-10}\right|$ và $\left(C_2\right):y=\sqrt{4x-m}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương?
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\neq 10\\x\geq \frac{m}{4}\end{array}\right.$.
Xét trên $\left(0;+\infty\right)\setminus\left\{10\right\}$, phương trình hoành độ giao điểm của $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ là
$\left|2+\frac{2}{x-10}\right|=\sqrt{4x-m}\Leftrightarrow m=4x-\left(\frac{2x-18}{x-10}\right)^2$.
Đặt $g(x)=4x-\left(\frac{2x-18}{x-10}\right)^2$ với $x\in\left(0;+\infty\right)\setminus\left\{10\right\}$.
Ta có: $g'(x)=4\left(1+\frac{2x-18}{(x-10)^3}\right)$; $g''(x)=\frac{-16x+136}{(x-10)^4}$.
$g'(x)$ có bảng biến thiên như sau
Suy ra phương trình $g'(x)=0$ có một nghiệm duy nhất $\alpha\in\left(\frac{17}{2};10\right)$. Lại có $g'(9,22)>0$ nên $\alpha\in(9,22;10)$. Ta có bảng biến thiên của $g(x)$ trên $\left(0;+\infty\right)\setminus\left\{10\right\}$:
Từ đó suy ra phương trình $m=g(x)$ có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $\frac{-81}{25}<m<g(\alpha)$.
Trên khoảng $(9,22;10)$ thì $\left\{\begin{array}{l}4x<40\\3<\left(\frac{2x-18}{x-10}\right)^2\end{array}\right.$ nên $g(x)<37\Rightarrow g(\alpha)\in(36;37)$.
Vậy những giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1; 2; 3; $\ldots$; 36 hay có 36 giá trị của $m$ cần tìm.
