Bài tập nâng cao · Bài 74
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 74
Xếp ngẫu nhiên $5$ bạn học sinh gồm An, Bình, Chi, Dũng và Lệ vào một chiếc ghế dài có $5$ chỗ ngồi. Xác suất để hai bạn An và Dũng không ngồi cạnh nhau là
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu $n\left( Ω \right)=5!$.
Gọi $A$ là biến cố: “Hai bạn An và Dũng không ngồi cạnh nhau” thì $\bar A$ là biến cố: “Hai bạn An và Dũng ngồi cạnh nhau”.
Xếp An và Dũng vào các vị trí ghế $\left( 1;\,2 \right),\,\left( 2;\,3 \right),\,\left( 3;\,4 \right),\,\left( 4;\,5 \right)$, có $4$ cách.
Đổi vị trị cho An và Dũng có $2!$ cách.
Xếp ba bạn còn lại vào ba ghế còn lại có $3!$ cách.
Do đó có $4.2!.3!$ cách xếp hai bạn An và Dũng ngồi cạnh nhau, tức là $n\left( \bar A \right)=4.2!.3!$.
Suy ra $P\left( \bar A \right)=\frac{n\left( \bar A \right)}{n\left( Ω \right)}=\frac{4.2!.3!}{5!}=\frac{2}{5}$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right)=1-P\left( \bar A \right)=\frac{3}{5}$.
Gọi $A$ là biến cố: “Hai bạn An và Dũng không ngồi cạnh nhau” thì $\bar A$ là biến cố: “Hai bạn An và Dũng ngồi cạnh nhau”.
Xếp An và Dũng vào các vị trí ghế $\left( 1;\,2 \right),\,\left( 2;\,3 \right),\,\left( 3;\,4 \right),\,\left( 4;\,5 \right)$, có $4$ cách.
Đổi vị trị cho An và Dũng có $2!$ cách.
Xếp ba bạn còn lại vào ba ghế còn lại có $3!$ cách.
Do đó có $4.2!.3!$ cách xếp hai bạn An và Dũng ngồi cạnh nhau, tức là $n\left( \bar A \right)=4.2!.3!$.
Suy ra $P\left( \bar A \right)=\frac{n\left( \bar A \right)}{n\left( Ω \right)}=\frac{4.2!.3!}{5!}=\frac{2}{5}$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right)=1-P\left( \bar A \right)=\frac{3}{5}$.