Bài tập nâng cao · Bài 75
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 75
Trong một buổi chào cờ đầu tuần lớp 11A có $43$ học sinh trong đó có $3$ học sinh Quyết, Tâm, Học. Xếp tùy ý $43$ học sinh trên ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ $1$ đến $43$, mỗi học sinh ngồi vào một ghế. Xác suất để $3$ bạn học sinh Quyết, Tâm, Học theo thứ tự được ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là $x,y,z$ sao cho $y=\frac{x+z}{2}$ là:
Xem lời giải
Lời giải
Từ điều kiện $y=\frac{x+z}{2}\Rightarrow 2y=x+z$. Vậy $x,y,z$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có $43$ số hạng.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là $n\left( Ω \right)=43!$
Bước 1: Chọn ngẫu nhiên ba ghế có ghi số $x,y,z$ trong $43$ ghế sao cho ba số ghế được chọn lập thành cấp số cộng.
Do ba số $x,y,z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên hai số $x,z$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị. Vậy số cách chọn bộ ba số $\left( x,y,z \right)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng số cặp $\left( x,z \right)$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ, số cách chọn là $C_{21}^{2}+C_{22}^{2}$.
Bước 2: Số cách xếp $3$ học sinh Quyết,Tâm, Học theo thứ tự vào ba ghế vừa chọn có $2!$ cách sắp xếp
Bước 3: Số cách sắp xếp $40$ học sinh còn lại vào $40$ ghế còn lại có $40!$ cách
Gọi $A$ là biến cố: “ Xếp tùy ý $43$ học sinh trong lớp ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ $1$ đến $43$, mỗi học sinh ngồi vào một ghế sao cho $3$ bạn học sinh Quyết, Tâm, Học được ngồi vào các ghế được đánh số $x,y,z$ sao cho $y=\frac{x+z}{2}$.
Ta có số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right)=\left( C_{22}^{2}+C_{21}^{2} \right).2!.40!$
Vậy xác suất cần tìm là $P_{A}=\frac{\left( C_{21}^{2}+C_{22}^{2} \right).2!.40!}{43!}=\frac{21}{1763}$.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là $n\left( Ω \right)=43!$
Bước 1: Chọn ngẫu nhiên ba ghế có ghi số $x,y,z$ trong $43$ ghế sao cho ba số ghế được chọn lập thành cấp số cộng.
Do ba số $x,y,z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên hai số $x,z$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị. Vậy số cách chọn bộ ba số $\left( x,y,z \right)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng bằng số cặp $\left( x,z \right)$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ, số cách chọn là $C_{21}^{2}+C_{22}^{2}$.
Bước 2: Số cách xếp $3$ học sinh Quyết,Tâm, Học theo thứ tự vào ba ghế vừa chọn có $2!$ cách sắp xếp
Bước 3: Số cách sắp xếp $40$ học sinh còn lại vào $40$ ghế còn lại có $40!$ cách
Gọi $A$ là biến cố: “ Xếp tùy ý $43$ học sinh trong lớp ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ $1$ đến $43$, mỗi học sinh ngồi vào một ghế sao cho $3$ bạn học sinh Quyết, Tâm, Học được ngồi vào các ghế được đánh số $x,y,z$ sao cho $y=\frac{x+z}{2}$.
Ta có số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right)=\left( C_{22}^{2}+C_{21}^{2} \right).2!.40!$
Vậy xác suất cần tìm là $P_{A}=\frac{\left( C_{21}^{2}+C_{22}^{2} \right).2!.40!}{43!}=\frac{21}{1763}$.