Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 9
Đơn giản biểu thức $B=\frac{\sin^{4}x+3\cos^{4}x-1}{\sin^{6}x+\cos^{6}x+3\cos^{4}x-1}$
Xem lời giải
Lời giải
$B=\frac{\sin^{4}x+3\cos^{4}x-1}{\sin^{6}x+\cos^{6}x+3\cos^{4}x-1}=\frac{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-2\sin^{2}x\cos^{2}x+2\cos^{4}x-1}{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)\left( \sin^{4}x-\sin^{2}x.\cos^{2}x+\cos^{4}x \right)+3\cos^{4}x-1}$
$=\,\frac{-2\sin^{2}x\cos^{2}x+2\cos^{4}x}{\sin^{4}x-\sin^{2}x.\cos^{2}x+\cos^{4}x+3\cos^{4}x-1}=\,\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-3\sin^{2}x\cos^{2}x+3\cos^{4}x-1}$
$=\,\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{-3\sin^{2}x\cos^{2}x+3\cos^{4}x}=\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{3\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}\,=\frac{2}{3}$.
$=\,\frac{-2\sin^{2}x\cos^{2}x+2\cos^{4}x}{\sin^{4}x-\sin^{2}x.\cos^{2}x+\cos^{4}x+3\cos^{4}x-1}=\,\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{\left( \sin^{2}x+\cos^{2}x \right)^{2}-3\sin^{2}x\cos^{2}x+3\cos^{4}x-1}$
$=\,\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{-3\sin^{2}x\cos^{2}x+3\cos^{4}x}=\frac{2\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}{3\cos^{2}x.\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)}\,=\frac{2}{3}$.