Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính $AB=10$ m, một người xuất phát từ $A$ bơi thẳng theo dây cung $AC$ tạo với đường kính $AB$ một góc $\alpha\ (0<\alpha<\frac\pi2)$, rồi chạy bộ theo cung nhỏ $CB$ đến điểm $B$ (Hình 4).
Gọi $S(\alpha)$ là quãng đường người đó đã di chuyển.
a) Viết công thức tính $S(\alpha)$ theo $\alpha\ (0<\alpha<\frac\pi2)$.
b) Xét tính liên tục của hàm số $y=S(\alpha)$ trên khoảng $(0;\frac\pi2)$.
c) Tính các giới hạn $\lim_{\alpha\to0^+}S(\alpha)$ và $\lim_{\alpha\to\frac\pi2^-}S(\alpha)$.
Xem lời giải
Lời giải
Kí hiệu $O$ là tâm hình tròn.
a) Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AC=AB\cos\alpha=10\cos\alpha$ (m).
Ta có $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2\alpha$. Suy ra độ dài cung $CB$ là $l=OB\cdot\widehat{BOC}=5\cdot2\alpha=10\alpha$ (m).
Quãng đường di chuyển (tính theo m) của người đó là
$S(\alpha)=AC+l=10\cos\alpha+10\alpha=10(\alpha+\cos\alpha)\ (0<\alpha<\frac\pi2)$.
b) Do các hàm số $y=\alpha$ và $y=\cos\alpha$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y=S(\alpha)$ liên tục trên $(0;\frac\pi2)$.
c) $\lim_{\alpha\to0^+}S(\alpha)=\lim_{\alpha\to0^+}10(\alpha+\cos\alpha)=10(\lim_{\alpha\to0^+}\alpha+\lim_{\alpha\to0^+}\cos\alpha)$
$=10(0+1)=10.\ \lim_{\alpha\to\frac\pi2^-}S(\alpha)=\lim_{\alpha\to\frac\pi2^-}10(\alpha+\cos\alpha)=10(\lim_{\alpha\to\frac\pi2^-}\alpha+\lim_{\alpha\to\frac\pi2^-}\cos\alpha)=10(\frac\pi2+0)=5\pi$.
