Bài tự luận · Bài 11
Bài tự luận Ôn tập Giới hạn 11 · Bài 11
Cho tam giác $T_1$ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác $T_2$ đồng dạng với tam giác $T_1$, tam giác $T_3$ đồng dạng với tam giác $T_2,\ldots$, tam giác $T_n$ đồng dạng với tam giác $T_{n-1}$ với tỉ số đồng dạng $\frac1k\ (k>1)$. Khi $n$ tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo $k$.
Xem lời giải
Lời giải
Kí hiệu diện tích tam giác $T_n$ là $S_n$.
Vì tam giác $T_n$ đồng dạng với tam giác $T_{n-1}$ với tỉ số đồng dạng $\frac1k$ nên diện tích tam giác $T_n$ bằng $\frac1{k^2}$ diện tích tam giác $T_{n-1}$ hay $S_n=\frac1{k^2}S_{n-1}$.
Vì $k>1$ nên $\frac1{k^2}<1$. Vậy $S_1;S_2;\ldots;S_{n-1};\ldots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có $S_1=1$ và công bội $q=\frac1{k^2}$.
Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu $n$ tiến tới vô cùng là:
$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n-1}+\ldots=\frac1{1-\frac1{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$.
Vì tam giác $T_n$ đồng dạng với tam giác $T_{n-1}$ với tỉ số đồng dạng $\frac1k$ nên diện tích tam giác $T_n$ bằng $\frac1{k^2}$ diện tích tam giác $T_{n-1}$ hay $S_n=\frac1{k^2}S_{n-1}$.
Vì $k>1$ nên $\frac1{k^2}<1$. Vậy $S_1;S_2;\ldots;S_{n-1};\ldots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có $S_1=1$ và công bội $q=\frac1{k^2}$.
Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu $n$ tiến tới vô cùng là:
$S=S_1+S_2+\ldots+S_{n-1}+\ldots=\frac1{1-\frac1{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$.