Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Cấp số cộng · Bài 11
Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là $u_1,u_2,u_3,u_4$ có công sai d.
Theo đề bài ta có: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3+u_4=20 \left( 1 \right) \\ u_1.u_2.u_3.u_4=384 \left( 2 \right) \end{array} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow u_1+u_1+d+u_1+2d+u_1+3d=20$
$\Leftrightarrow 4u_1+6d=20\Rightarrow u_1=\frac{20-6d}{4}=5-\frac{3}{2}d.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow u_1\left( u_1+d \right)\left( u_1+2d \right)\left( u_1+3d \right)=384.$
$\Leftrightarrow \left( 5-\frac{3}{2}d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+2d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+3d \right)=384$
$\Leftrightarrow \left( 5-\frac{3}{2}d \right)\left( 5+\frac{3}{2}d \right)\left( 5-\frac{d}{2} \right)\left( 5+\frac{d}{2} \right)=384\Leftrightarrow \left( 25-\frac{9d^{2}}{4} \right)\left( 25-\frac{d^{2}}{4} \right)=384.$
Đặt $t=\frac{d^{2}}{4},t\geq 0.$
$\Leftrightarrow \left( 25-9t \right)\left( 25-t \right)=384\Leftrightarrow 9t^{2}-250t+241=0\Leftrightarrow t_1=\frac{241}{9} \vee t_2=1.$
Cách 2: gọi $u_1=u-3d, u_2=u-d, u_3=u+d, u_4=u+3d$
Ta có: $u_1+u_2+u_3+u_4=20\Leftrightarrow 4u=20\Rightarrow u=5.$
Và: $u_1.u_2.u_3.u_4=384.\Leftrightarrow \left( u-3d \right)\left( u-d \right)\left( u+d \right)\left( u+3d \right)=384$
$\Leftrightarrow \left( u^{2}-9d^{2} \right)\left( u^{2}-d^{2} \right)=384\Leftrightarrow \left( 25-9d^{2} \right)\left( 25-d^{2} \right)=384.$
Đặt: $t=d^{2},t\geq 0.$
$\Leftrightarrow 9t^{2}-250t+241=0\Leftrightarrow t=1 \vee t=\frac{241}{9}$
Với $t=1\Leftrightarrow d^{2}=1\Leftrightarrow d=\pm 1.$
$\bullet$ $d=1\Rightarrow u_1=2;u_2=4;u_3=6;u_4=8$
$\bullet$ $d=-1\Rightarrow u_1=8;u_2=6;u_3=4;u_4=2$
Với: $t=\frac{241}{9}\Rightarrow d=\pm\frac{\sqrt{241}}{3}$
$\bullet$ $d=\frac{\sqrt{241}}{3}\Rightarrow u_1=5-\sqrt{241};u_2=5-\frac{\sqrt{241}}{3};u_3=5+\frac{\sqrt{241}}{3};u_4=5+\sqrt{241}$
$\bullet$ $d=-\frac{\sqrt{241}}{3}\Rightarrow u_1=5+\sqrt{241};u_2=5+\frac{\sqrt{241}}{3};u_3=5-\frac{\sqrt{241}}{3};u_4=5-\sqrt{241}.$
Ta có thể gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là $u_1=u-3d,u_2=u-d,u_3=u+d,u_4=u+3d$ với công sai 2d.
Theo đề bài ta có: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3+u_4=20 \left( 1 \right) \\ u_1.u_2.u_3.u_4=384 \left( 2 \right) \end{array} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow u_1+u_1+d+u_1+2d+u_1+3d=20$
$\Leftrightarrow 4u_1+6d=20\Rightarrow u_1=\frac{20-6d}{4}=5-\frac{3}{2}d.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow u_1\left( u_1+d \right)\left( u_1+2d \right)\left( u_1+3d \right)=384.$
$\Leftrightarrow \left( 5-\frac{3}{2}d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+2d \right)\left( 5-\frac{3}{2}d+3d \right)=384$
$\Leftrightarrow \left( 5-\frac{3}{2}d \right)\left( 5+\frac{3}{2}d \right)\left( 5-\frac{d}{2} \right)\left( 5+\frac{d}{2} \right)=384\Leftrightarrow \left( 25-\frac{9d^{2}}{4} \right)\left( 25-\frac{d^{2}}{4} \right)=384.$
Đặt $t=\frac{d^{2}}{4},t\geq 0.$
$\Leftrightarrow \left( 25-9t \right)\left( 25-t \right)=384\Leftrightarrow 9t^{2}-250t+241=0\Leftrightarrow t_1=\frac{241}{9} \vee t_2=1.$
Cách 2: gọi $u_1=u-3d, u_2=u-d, u_3=u+d, u_4=u+3d$
Ta có: $u_1+u_2+u_3+u_4=20\Leftrightarrow 4u=20\Rightarrow u=5.$
Và: $u_1.u_2.u_3.u_4=384.\Leftrightarrow \left( u-3d \right)\left( u-d \right)\left( u+d \right)\left( u+3d \right)=384$
$\Leftrightarrow \left( u^{2}-9d^{2} \right)\left( u^{2}-d^{2} \right)=384\Leftrightarrow \left( 25-9d^{2} \right)\left( 25-d^{2} \right)=384.$
Đặt: $t=d^{2},t\geq 0.$
$\Leftrightarrow 9t^{2}-250t+241=0\Leftrightarrow t=1 \vee t=\frac{241}{9}$
Với $t=1\Leftrightarrow d^{2}=1\Leftrightarrow d=\pm 1.$
$\bullet$ $d=1\Rightarrow u_1=2;u_2=4;u_3=6;u_4=8$
$\bullet$ $d=-1\Rightarrow u_1=8;u_2=6;u_3=4;u_4=2$
Với: $t=\frac{241}{9}\Rightarrow d=\pm\frac{\sqrt{241}}{3}$
$\bullet$ $d=\frac{\sqrt{241}}{3}\Rightarrow u_1=5-\sqrt{241};u_2=5-\frac{\sqrt{241}}{3};u_3=5+\frac{\sqrt{241}}{3};u_4=5+\sqrt{241}$
$\bullet$ $d=-\frac{\sqrt{241}}{3}\Rightarrow u_1=5+\sqrt{241};u_2=5+\frac{\sqrt{241}}{3};u_3=5-\frac{\sqrt{241}}{3};u_4=5-\sqrt{241}.$
Ta có thể gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là $u_1=u-3d,u_2=u-d,u_3=u+d,u_4=u+3d$ với công sai 2d.