Lợi nhuận tổng hàng ngày (tính theo đô la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán $ x $ đĩa DVD có thể ghi lại được cho bởi hàm lợi nhuận $ P(x)=-0,000001x ^ { 3 } +0,001x ^ { 2 } +5x-500;\quad 0\leq x\leq 2000 $ Tìm mức sản xuất $ x $ để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Tính đạo hàm $ P ^ { ′ } (x) $: $ P ^ { ′ } (x)=\left ( { -10 ^ { -6 } x ^ { 3 } +10 ^ { -3 } x ^ { 2 } +5x-500 } \right ) ^ { ′ } =-3⋅10 ^ { -6 } x ^ { 2 } +2⋅10 ^ { -3 } x+5 $ Xét $ P ^ { ′ } (x)=0 $: $ -3.10 ^ { -6 } x ^ { 2 } +0,002x+5=0⇒3.10 ^ { -6 } x ^ { 2 } -0,002x-5=0. $ Chia cả hai vế cho $ 10 ^ { -6 } $: $ 3x ^ { 2 } -2000x-5000000=0 $ Giải phương trình bậc hai: $ x=\frac { 2000±\sqrt[] { 2000 ^ { 2 } +4⋅3⋅5000000 } } { 2⋅3 }=\frac { 2000±\sqrt[] { 4000000+60000000 } } { 6 } \\ =\frac { 2000±\sqrt[] { 64000000 } } { 6 }=\frac { 2000±8000 } { 6 }. $ Kết quả: $ x_{ 1 } =\frac { 2000+8000 } { 6 }=\frac { 10000 } { 6 }≈1666,67,\quad x_{ 2 } =\frac { 2000-8000 } { 6 }=-1000 $(loại) Chọn $ x=1666,67 $ (nằm trong đoạn $ [0;2000] $). Lập bảng biến thiên ta suy ra được $ P $ đạt cực đại tại $ x≈1666,67 $. Để lợi nhuận hàng ngày lớn nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng $ 1667 $ DVD