Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 18
(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Giá trị lớn nhất của $m$ để đường thẳng $(d):y=x-m+1$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3+2(m-2)x^2+(8-5m)x+m-5$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+x_3^2=20$ là?
Xem lời giải
Lời giải
Hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình
$x^3+2(m-2)x^2+(8-5m)x+m-5=x-m+1$
$\Leftrightarrow (x-2)[x^2+(2m-2)x-m+3]=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_3=2 \\ x^2+(2m-2)x-m+3=0\,\,(1) \end{array} \right..$
Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'=(m-1)^2+(m-3)>0 \\ 4+(2m-2)\cdot 2-m+3\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array} \right. \\ m\neq -1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array} \right.\,\,(2).$
Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-(2m-2) \\ x_1x_2=-m+3 \end{array} \right..$
Theo giả thiết $x_1^2+x_2^2+x_3^2=20$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+x_3^2=20$
$\Leftrightarrow (2m-2)^2+2(m-3)+4=20 \Leftrightarrow 2m^2-3m-9=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=3 \\ m=-\frac{3}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn (2)).
Vậy giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3$.
$x^3+2(m-2)x^2+(8-5m)x+m-5=x-m+1$
$\Leftrightarrow (x-2)[x^2+(2m-2)x-m+3]=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_3=2 \\ x^2+(2m-2)x-m+3=0\,\,(1) \end{array} \right..$
Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ khác 2
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'=(m-1)^2+(m-3)>0 \\ 4+(2m-2)\cdot 2-m+3\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array} \right. \\ m\neq -1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array} \right.\,\,(2).$
Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-(2m-2) \\ x_1x_2=-m+3 \end{array} \right..$
Theo giả thiết $x_1^2+x_2^2+x_3^2=20$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+x_3^2=20$
$\Leftrightarrow (2m-2)^2+2(m-3)+4=20 \Leftrightarrow 2m^2-3m-9=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=3 \\ m=-\frac{3}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn (2)).
Vậy giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3$.