Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 19
Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=-2x^3-3m^2x^2+(m^3+2m)x+2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân?
Xem lời giải
Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình
$-2x^3-3m^2x^2+(m^3+2m)x+2=0.\,\,(*)$
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$.
Khi đó ta có
$y=-2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=-2x^3+2(x_1+x_2+x_3)x^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x+2x_1x_2x_3.$
Đồng nhất thức ta được
$\left\{ \begin{array}{l} 2(x_1+x_2+x_3)=-3m^2 \\ -2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=m^3+2m \\ 2x_1x_2x_3=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=-\frac{3m^2}{2}\,\,(1) \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-\frac{m^3+2m}{2}\,\,(2) \\ x_1x_2x_3=1\,\,(3) \end{array} \right..$
Vì $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân nên $x_1x_3=x_2^2.\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(3)$: $x_2=1.$ Thay vào phương trình $(*)$ rút ra được $\left[ \begin{array}{l} m=0 \\ m=1 \\ m=2 \end{array} \right..$
Với $m=0\Rightarrow$ phương trình $(*): -2x^3+2=0\Leftrightarrow x=1$ (không thỏa mãn).
Với $m=1\Rightarrow$ phương trình $(*): -2x^3-3x^2+3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1=-2 \\ x_2=1 \\ x_3=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn).
Với $m=2\Rightarrow$ phương trình $(*): x^3+6x^2-6x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\ x_2=1 \\ x_3=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn.
$-2x^3-3m^2x^2+(m^3+2m)x+2=0.\,\,(*)$
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$.
Khi đó ta có
$y=-2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=-2x^3+2(x_1+x_2+x_3)x^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x+2x_1x_2x_3.$
Đồng nhất thức ta được
$\left\{ \begin{array}{l} 2(x_1+x_2+x_3)=-3m^2 \\ -2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=m^3+2m \\ 2x_1x_2x_3=2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3=-\frac{3m^2}{2}\,\,(1) \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-\frac{m^3+2m}{2}\,\,(2) \\ x_1x_2x_3=1\,\,(3) \end{array} \right..$
Vì $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân nên $x_1x_3=x_2^2.\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(3)$: $x_2=1.$ Thay vào phương trình $(*)$ rút ra được $\left[ \begin{array}{l} m=0 \\ m=1 \\ m=2 \end{array} \right..$
Với $m=0\Rightarrow$ phương trình $(*): -2x^3+2=0\Leftrightarrow x=1$ (không thỏa mãn).
Với $m=1\Rightarrow$ phương trình $(*): -2x^3-3x^2+3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1=-2 \\ x_2=1 \\ x_3=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn).
Với $m=2\Rightarrow$ phương trình $(*): x^3+6x^2-6x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1=\frac{-7-\sqrt{45}}{2} \\ x_2=1 \\ x_3=\frac{-7+\sqrt{45}}{2} \end{array} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn.