Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 20
(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ của $y=x^3-3x^2+4$ và đường thẳng $y=mx+m$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $A(-1;0)$, $B$, $C$ sao cho $\Delta OBC$ có diện tích bằng $64$.
Xem lời giải
Lời giải
$d(O,BC)=\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}$
$BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(m^2+1)(x_B-x_C)^2}$
$=\sqrt{(m^2+1)[(x_B+x_C)^2-4x_Bx_C]}=\sqrt{(m^2+1)4m}$
$\Rightarrow S_{\Delta OBC}=\frac{1}{2}d(O,BC)\cdot BC=m\sqrt{m}=64\Leftrightarrow m=16.$
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+4=mx+m\Leftrightarrow (x+1)(x^2-4x+4-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ (x-2)^2=m\,\,(*) \end{array} \right..$
Để $d$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m\neq 9 \end{array} \right..$
$(*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2-\sqrt{m}\Rightarrow B(2-\sqrt{m};3m-m\sqrt{m}) \\ x=2+\sqrt{m}\Rightarrow C(2+\sqrt{m};3m+m\sqrt{m}) \end{array} \right..$
$\overrightarrow{OB}=(2-\sqrt{m};3m-m\sqrt{m}),\overrightarrow{OC}=(2+\sqrt{m};3m+m\sqrt{m})$
$\Rightarrow S_{\Delta OBC}=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\right|=m\sqrt{m}=64\Rightarrow m=16.$
$BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}=\sqrt{(m^2+1)(x_B-x_C)^2}$
$=\sqrt{(m^2+1)[(x_B+x_C)^2-4x_Bx_C]}=\sqrt{(m^2+1)4m}$
$\Rightarrow S_{\Delta OBC}=\frac{1}{2}d(O,BC)\cdot BC=m\sqrt{m}=64\Leftrightarrow m=16.$
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3x^2+4=mx+m\Leftrightarrow (x+1)(x^2-4x+4-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \\ (x-2)^2=m\,\,(*) \end{array} \right..$
Để $d$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m\neq 9 \end{array} \right..$
$(*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2-\sqrt{m}\Rightarrow B(2-\sqrt{m};3m-m\sqrt{m}) \\ x=2+\sqrt{m}\Rightarrow C(2+\sqrt{m};3m+m\sqrt{m}) \end{array} \right..$
$\overrightarrow{OB}=(2-\sqrt{m};3m-m\sqrt{m}),\overrightarrow{OC}=(2+\sqrt{m};3m+m\sqrt{m})$
$\Rightarrow S_{\Delta OBC}=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\right|=m\sqrt{m}=64\Rightarrow m=16.$