(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số $y=x^3-8x^2+8x$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $y=x^2+(8-a)x-b$ (với $a,b\in\mathbb{R}$) có đồ thị $(P)$. Biết đồ thị hàm số $(C)$ cắt $(P)$ tại ba điểm có hoành độ nằm trong $[-1;5]$. Khi $a$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tích $ab$ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm là $x^3-8x^2+8x=x^2+(8-a)x-b\Leftrightarrow x^3-9x^2+ax+b=0$ (1).
Gọi $m,n,p$ là 3 nghiệm của phương trình (1) ta có $\left\{ \begin{array}{l} m+n+p=9 \\ mn+np+pm=a \\ mnp=-b \end{array} \right..$
Do $(C)$ cắt $(P)$ tại ba điểm có hoành độ nằm trong $[-1;5]$ nên
$\left\{ \begin{array}{l} (m+1)(n+1)(p+1)\geq 0 \\ (5-m)(5-n)(5-p)\geq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mnp+(mn+np+pm)+(m+n+p)+1\geq 0 \\ -mnp+5(mn+np+pm)-25(m+n+p)+125\geq 0 \end{array} \right..$
Cộng vế theo vế của hệ phương trình trên ta có $6(mn+np+pm)-24(m+n+p)+126\geq 0\Leftrightarrow mn+np+pm\geq 15\Rightarrow a\geq 15.$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} mnp\geq -25 \\ mnp\leq -25 \end{array} \right. \Leftrightarrow mnp=-25\Rightarrow b=25.$
Vậy tích $ab=375.$
Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm là $x^3-8x^2+8x=x^2+(8-a)x-b\Leftrightarrow x^3-9x^2+ax+b=0$ (1).
Khi đó phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong $[-1;5]$.
Đặt $f(x)=x^3-9x^2+ax+b$ suy ra $f'(x)=3x^2-18x+a$. Để phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong $[-1;5]$ thì $f'(x)=3x^2-18x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $[-1;5]$
$\Leftrightarrow a=-3x^2+18x$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $[-1;5]$.
Xét hàm số $g(x)=-3x^2+18x$ suy ra $g'(x)=-6x+18$, ta có $g'(x)=0\Leftrightarrow x=3$.
Bảng biến thiên của $y=g(x)$
Từ BBT ta có $15\leq a<27$ suy ra giá trị nhỏ nhất của $a$ bằng 15 khi $x=5$, khi đó $b=25$.
Vậy tích $ab=375.$
