Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 22
(Sở Quảng Trị 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y=-mx+m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3+mx^2+m$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $-1<x_1+x_2+x_3<3$?
Xem lời giải
Lời giải
$(d)\,y=-mx+m$, $(C)\,y=x^3+mx^2+m$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(C)$: $x^3+mx^2+mx=0\,\,(1)$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x^2+mx+m=0\,\,(2) \end{array} \right..$
Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $(2)$, $x_3=0$.
$(1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $(2)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt và khác $0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta>0,\,\Delta=m^2-4m \\ m\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$
$(1)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa $-1<x_1+x_2+x_3<3$, với $x_1+x_2=-m$, $x_3=0$.
$\Leftrightarrow -1<-m<3$
$\Leftrightarrow -3<m<1$, mà $m\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$, $m\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow m\in\{-2;-1\}$. Vậy có $2$ giá trị $m$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(C)$: $x^3+mx^2+mx=0\,\,(1)$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x^2+mx+m=0\,\,(2) \end{array} \right..$
Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $(2)$, $x_3=0$.
$(1)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $(2)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt và khác $0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta>0,\,\Delta=m^2-4m \\ m\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$
$(1)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa $-1<x_1+x_2+x_3<3$, với $x_1+x_2=-m$, $x_3=0$.
$\Leftrightarrow -1<-m<3$
$\Leftrightarrow -3<m<1$, mà $m\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$, $m\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow m\in\{-2;-1\}$. Vậy có $2$ giá trị $m$.