Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 23

Cách 1: Ta có $x^3-3x^2-m^3+3m^2=0\Leftrightarrow x^3-3x^2=m^3-3m^2\Leftrightarrow f(x)=f(m)$ (1).
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2$.
$f'(x)=3x^2-6x$, $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=2 \end{array} \right..$
$f(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=3 \end{array} \right..$
$f(x)=-4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=-1 \end{array} \right..$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -4<f(m)<0$, $\left\{ \begin{array}{l} -1<m<3 \\ m\neq 0 \\ m\neq 2 \end{array} \right..$
Suy ra $T=\{1\}$. Vậy tổng tất cả các phần tử của $T$ bằng 1.
Cách 2: Ta có $x^3-3x^2-m^3+3m^2=0\Leftrightarrow (x^3-m^3)-3(x^2-m^2)=0$
$\Leftrightarrow (x-m)[x^2+(m-3)x+m^2-3m]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=m \\ x^2+(m-3)x+m^2-3m=0\,\,(*) \end{array} \right..$
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt, khác $m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta=(m-3)^2-4(m^2-3m)>0 \\ m^2+(m-3)m+m^2-3m\neq 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (m-3)(-3m-3)>0 \\ 3m^2-6m\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -1<m<3 \\ m\neq 0 \\ m\neq 2 \end{array} \right. \Rightarrow m=1$ (vì $m\in\mathbb{Z}$).
Suy ra $T=\{1\}$. Vậy tổng tất cả các phần tử của $T$ bằng 1.