Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 24
(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho đồ thị hàm số $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{1}{f'(x_2)}+\frac{1}{f'(x_3)}.$
Xem lời giải
Lời giải
Vì $x_1,x_2,x_3$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba $f(x)=0\Rightarrow f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.
Ta có $f'(x)=(x-x_1)(x-x_2)+(x-x_2)(x-x_3)+(x-x_1)(x-x_3)$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x_1)=(x_1-x_2)(x_1-x_3) \\ f'(x_2)=(x_2-x_3)(x_2-x_1) \\ f'(x_3)=(x_3-x_1)(x_3-x_2) \end{array} \right..$
Suy ra $P=\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{1}{(x_2-x_3)(x_2-x_1)}+\frac{1}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$.
$=\frac{(x_2-x_3)-(x_1-x_3)+(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}=0$.
Ta có $f'(x)=(x-x_1)(x-x_2)+(x-x_2)(x-x_3)+(x-x_1)(x-x_3)$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} f'(x_1)=(x_1-x_2)(x_1-x_3) \\ f'(x_2)=(x_2-x_3)(x_2-x_1) \\ f'(x_3)=(x_3-x_1)(x_3-x_2) \end{array} \right..$
Suy ra $P=\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{1}{(x_2-x_3)(x_2-x_1)}+\frac{1}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$.
$=\frac{(x_2-x_3)-(x_1-x_3)+(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}=0$.