(Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị đi qua điểm $A(1;1),B(2;4),C(3;9)$. Các đường thẳng $AB,AC,BC$ lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm $M,N,P$ ($M$ khác $A$ và $B$, $N$ khác $A$ và $C$, $P$ khác $B$ và $C$). Biết rằng tổng các hoành độ của $M,N,P$ bằng 5, giá trị của $f(0)$ là?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Từ giả thuyết bài toán ta giả sử $f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$ ($a
eq 0$). Ta có: $AB:y=3x-2$, $AC:y=4x-3$, $BC:y=5x-6$. Khi đó: Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình: $a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+x_M^2=3x_M-2$ $\Leftrightarrow a(x_M-1)(x_M-2)(x_M-3)+(x_M-1)(x_M-2)=0$ $\Leftrightarrow a(x_M-3)+1=0 \Leftrightarrow x_M=3-\frac{1}{a}$. Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình: $a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+x_N^2=4x_N-3$ $\Leftrightarrow a(x_N-1)(x_N-2)(x_N-3)+(x_N-1)(x_N-3)=0$ $\Leftrightarrow a(x_N-2)+1=0 \Leftrightarrow x_N=2-\frac{1}{a}$. Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình: $a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+x_P^2=5x_P-6$ $\Leftrightarrow a(x_P-1)(x_P-2)(x_P-3)+(x_P-2)(x_P-3)=0$ $\Leftrightarrow a(x_P-1)+1=0 \Leftrightarrow x_P=1-\frac{1}{a}$. Từ giả thuyết ta có: $x_M+x_N+x_P=5\Leftrightarrow 6-\frac{3}{a}=5\Leftrightarrow a=3$. Do đó: $f(x)=3(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$. $f(0)=-18$.

Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 25