(Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x+2m+1$ và trục $Ox$ có đúng hai điểm chung phân biệt. Tính tổng $T$ của các phần tử thuộc tập $S$?
Xem lời giải
Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x+2m+1$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình: $x^3+3x^2-9x+2m+1=0\Leftrightarrow -x^3-3x^2+9x=2m+1$.
Xét hàm số $f(x)=-x^3-3x^2+9x$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$f'(x)=-3x^2-6x+9$, $f'(x)=0\Leftrightarrow -3x^2-6x+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-3 \end{array} \right..$
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x+2m+1$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=2m+1$ cắt đồ thị hàm số $f(x)=-x^3-3x^2+9x$ tại hai điểm phân biệt.
Từ bảng biến thiên suy ra: $\left[ \begin{array}{l} 2m+1=5 \\ 2m+1=-27 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=2 \\ m=-14 \end{array} \right. \Rightarrow S=\{-14;2\}$.
Tổng của các phần tử thuộc tập $S$ là: $T=-14+2=-12$.
