(Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Gọi $m_0$ là số thực sao cho phương trình $|x^3-12x|=m_0$ có ba nghiệm dương phân biệt $x_1$; $x_2$; $x_3$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=1+4\sqrt{3}$. Biết rằng $m_0$ có dạng $a\sqrt{3}+b$ với $a$; $b$ là các số hữu tỷ. Tính $4a^2+8b$:
Xem lời giải
Lời giải
Vẽ đồ thị hàm số $y=|x^3-12x|$
Do đó với mọi $m\in(0;16)$ thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt $x_1$; $x_2$; $x_3$ $(x_1<x_2<x_3)$ thỏa mãn:
$\left\{ \begin{array}{l} -x_1^3+12x_1=m_0 \\ -x_2^3+12x_2=m_0 \\ x_3^3-12x_3=m_0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (-x_1)^3-12(-x_1)-m_0=0 \\ (-x_2)^3-12(-x_2)-m_0=0 \\ x_3^3-12x_3-m_0=0 \end{array} \right..$
$\Rightarrow -x_1$; $-x_2$; $x_3$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-12x-m_0=0$.
$\Rightarrow -x_1-x_2+x_3=0 \Rightarrow x_3=x_1+x_2$.
Mà $x_1+x_2+x_3=1+4\sqrt{3} \Rightarrow x_3=\frac{1+4\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow m_0=\left(\frac{1+4\sqrt{3}}{2}\right)^3-12\left(\frac{1+4\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{97}{8}$.
$\Rightarrow a=\frac{3}{2}$; $b=\frac{97}{8} \Rightarrow 4a^2+8b=106$.
