(Chuyên ĐHSP - 2021) Gọi $X$ là tập các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn đường thẳng $(d):y=-12m-7$ cùng với đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-mx^2-4x-1$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_1$ và $S_2$ thỏa mãn $S_1=S_2$ (xem hình vẽ).
Tích các giá trị của các phần tử của $X$ là?
Xem lời giải
Lời giải
+ $y'=x^2-2mx-4$.
+ $y''=2x-2m$.
+ $y''=0\Leftrightarrow x=m$.
+ Tâm đối xứng của $(C)$ là $I\left(m;-\frac{2}{3}m^3-4m-1\right)$.
+ Điều kiện bài toán tương đương với
$I\in(d)\Leftrightarrow -\frac{2}{3}m^3-4m-1=-12m-7\Leftrightarrow m^3-12m-9=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=-3 \\ m=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{21} \end{array} \right..$
Suy ra tích các giá trị $m$ bằng $9$.
