Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 21

Giả sử cửa hàng cần nhập $x$ (chiếc) ti vi 50 inch và $y$ (chiếc) ti vi 55 inch ($x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}$). Lợi nhuận cửa hàng thu được khi đó là: $T=2x+3y$ (triệu đồng).
Số tiền để nhập hai loại ti vi với số lượng như trên là $15x+25y$ (triệu đồng).
Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại ti vi là 1,8 tỉ đồng nên ta có: $15x+25y\leq 1800$ hay $3x+5y\leq 360$.
Vì nhu cầu tiêu thụ của thị trường không quá 100 máy nên $x+y\leq 100$.
Vì vậy, yêu cầu của cửa hàng có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
$\left\{\begin{array}{l}\max(T=2x+3y)\\3x+5y\leq 360\\x+y\leq 100\\x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}\end{array}\right.\quad(III)$
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ($x,y$ là các số thực):
$\left\{\begin{array}{l}3x+5y\leq 360\\x+y\leq 100\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\quad(III')$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2x+3y$ khi $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình (III').
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (III').
Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh $O(0;0),A(0;72)$, $B(70;30),C(100;0)$.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $T(x,y)=2x+3y$ tại các đỉnh của tứ giác này:
$T(0,0)=0;T(0,72)=216;T(70,30)=230;T(100,0)=200$
Bước 3. Ta đã biết biểu thức $T=2x+3y$ đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực $(x;y)$ là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác $OABC$. So sánh bốn giá trị thu được của $T$ ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là $T(70,30)=230$.
Bước 4. Vì 70 và 30 đều là số tự nhiên nên cặp số $(x;y)=(70;30)$ là nghiệm của bài toán (III).
Vậy cửa hàng cần nhập về 70 chiếc ti vi loại 50 inch và 30 chiếc ti vi loại 55 inch để lợi nhuận thu được (sau khi bán hết hàng nhập về) là lớn nhất.