Cho hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước và khối lượng, hộp I chứa $a$ quả cầu màu xanh và $b$ quả cầu màu đỏ, hộp II chứa $x$ quả cầu màu xanh và $y$ quả cầu màu đỏ, trong đó $a,b,x,y$ là các số nguyên dương, $a$ và $b$ lớn hơn 1. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp II. Tính xác suất để quả cầu lấy ra từ hộp II là quả cầu màu đỏ.

Question

TÓM TẮT KIẾN THỨC Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Ta có công thức xác suất toàn phần như sau $ P(B)=P(A∩B)+P( \bar A∩B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) $ Nếu có thêm giả thiết $ P(B)>0 $ thì ta có công thức Bayes sau đây: $ P(A\mid B)=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) }=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(B) } $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ n } (n\in \mathbb{N},n\geq 2) $ được gọi là một nhóm đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc (tức là $ A_{ i } ∩A_{ j } =∅,∀i
eq j $) và đồng thời $ A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } =Ω $. Hai biến cố $ A $ và $ \bar A $ luôn tạo thành một nhóm đầy đủ. Hiển nhiên $ ∅ $ và $ Ω $ cũng tạo thành một nhóm đầy đủ, được gọi là nhóm đầy đủ tầm thường. Với một nhóm đầy đủ $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,…,A_{ n } $ và biến cố $ B $ ta luôn có $B=\bigcup_{k=1}^{n}(B\cap A_k)$ nên $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { B∩A_{ k } } ight ) $ (do các biến cố $ B∩A_{ 1 } ,…,B∩A_{ n } $ đôi một xung khắc). Áp dụng công thức nhân ta được $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) $. Đây chính là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) cho trường hợp tổng quát. Công thức xác suất toàn phần ta nêu ở đầu mục này chính là trường hợp $ n=2 $. Đến đây ta cũng thiết lập được công thức Bayes cho trường hợp tổng quát như sau (với giả thiết $ P(B)>0 $): $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight )=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { P(B) }=\frac { P\left ( { A_{ i } } ight )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } ight ) } { \sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )P\left ( { B\mid A_{ k } } ight ) };i=1,2,…,n $ Công thức Bayes giúp ta tính các xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ trong khi đã biết $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $ được xác định từ trước nên thường được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của $ B $ nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ và tính được xác suất $ P\left ( { A_{ i } } ight ) $. Sau đó, nhà nghiên cứu biết được thông tin rằng biến cố $ B $ đã xảy ra. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ bằng cách tính xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } ight ) $ là xác suất xảy ra biến cố $ A_{ i } $ khi biến cố $ B $ đã xảy ra. Cho hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước và khối lượng, hộp I chứa $a$ quả cầu màu xanh và $b$ quả cầu màu đỏ, hộp II chứa $x$ quả cầu màu xanh và $y$ quả cầu màu đỏ, trong đó $a,b,x,y$ là các số nguyên dương, $a$ và $b$ lớn hơn 1. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp II. Tính xác suất để quả cầu lấy ra từ hộp II là quả cầu màu đỏ.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét các biến cố sau đây: $A$: "Quả cầu lấy ra từ hộp II là quả cầu màu đỏ"; $B_1$: "Hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II đều là quả cầu màu đỏ"; $B_2$: "Hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II đều là quả cầu màu xanh"; $B_3$: "Hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II gồm một quả cầu màu xanh và một quả cầu màu đỏ". Ta thấy $B_1,B_2,B_3$ tạo thành một nhóm đầy đủ và $P(B_1)=\frac{C_b^2}{C_{a+b}^2},P(B_2)=\frac{C_a^2}{C_{a+b}^2},P(B_3)=\frac{C_a^1\cdot C_b^1}{C_{a+b}^2}=\frac{ab}{C_{a+b}^2}$ Nếu hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II là các quả cầu màu đỏ thì lúc đó hộp II sẽ có $x$ quả cầu màu xanh và $y+2$ quả cầu màu đỏ. Do đó $P(A\mid B_1)=\frac{y+2}{x+y+2}$. Nếu hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II là các quả cầu màu xanh thì lúc đó hộp II sẽ có $x+2$ quả cầu màu xanh và $y$ quả cầu màu đỏ. Do đó $P(A\mid B_2)=\frac{y}{x+y+2}$. Nếu hai quả cầu chuyển từ hộp I sang hộp II gồm một quả cầu màu xanh và một quả cầu màu đỏ thì lúc đó hộp II sẽ có $x+1$ quả cầu màu xanh và $y+1$ quả cầu màu đỏ. Do đó $P(A\mid B_3)=\frac{y+1}{x+y+2}$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có $P(A)=P(B_1)\cdot P(A\mid B_1)+P(B_2)\cdot P(A\mid B_2)+P(B_3)\cdot P(A\mid B_3)\=\frac{C_b^2}{C_{a+b}^2}\cdot\frac{y+2}{x+y+2}+\frac{C_a^2}{C_{a+b}^2}\cdot\frac{y}{x+y+2}+\frac{ab}{C_{a+b}^2}\cdot\frac{y+1}{x+y+2}$

Bài tập nâng cao Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 13