Dạng 2. Biểu thị một vecto theo một vectơ khác
Biểu thị một vectơ theo một vectơ cùng phương
Phương pháp: Sử dụng tính chất sau:
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ cùng hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=mb $.
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ ngược hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=-mb $.
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa, tính chất của các phép toán: phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một số với một vectơ.
- Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, hình bình hành.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 14
(CD10) Cho hình bình hành $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,M$ là trung điểm của $CD,G$ là trọng tâm của tam giác $OBC$.
Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$ theo hai vectơ $a,b$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=a+b$.
Vì $\overrightarrow{AO}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và $\|\overrightarrow{AO}\|=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AC}\|$ nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$. Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(a+b+b)=\frac{1}{2}a+b$. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $OBC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}[(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)+a+(a+b)]=\frac{5}{6}a+\frac{1}{2}b$.
$\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AC}=\frac{5}{6}a+\frac{1}{2}b-(a+b)=-\frac{1}{6}a-\frac{1}{2}b$.
