Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 42

Nhận xét: $\Delta ABC$ tù tại $A$ thì giữa $B$ và $C$ (cung $BC$ không chứa A) có ít nhất $n$ đỉnh của đa giác.
Chọn $A$ có $2n$ cách.
Với mỗi cách chọn A, không mất tính tổng quát giả sử $A≡A_{0}$.
Chọn 2 đỉnh $B$ và $C$ là $A_{i},A_{k}$ thỏa mãn $1\leq i < k\leq 2n-1$
Giữa $B$ và $C$ cần ít nhất $n$ đỉnh nên $1\leq i < k-n\leq n-1$
Số cách chọn 2 đỉnh $B$ và $C$ là $C_{ n-1 }^{2}$
Vậy từ $2n$ đỉnh của hình $\left( H \right)$ lập được $2n.C_{ n-1 }^{2}=2n.\frac{\left( n-1 \right)!}{2!\left( n-3 \right)!}=n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=n^{3} -3n^{2} +2n$ tam giác tù.