Bài tập nâng cao · Bài 20
Dạng 2. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 20
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có $A(3;2)$ và phương trình đường chéo $BD:3x+4y-7=0$. Khi đó đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có phương trình là:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Đường thẳng $AC$ qua $A(3;2)$ và vuông góc với $BD:3x+4y-7=0$ có phương trình là $AC:4x-3y-6=0$.
Vì $I=AC\cap BD$ nên $I\left(\frac95;\frac25\right)$.
Ta có $IA=d(A;BD)=\frac{|3\cdot3+4\cdot2-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$.
Do đó $R=\frac{IA}{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$.
Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có tâm $I\left(\frac95;\frac25\right)$, bán kính $R=\sqrt2$ có phương trình là $\left(x-\frac95\right)^2+\left(y-\frac25\right)^2=2$.
Đường thẳng $AC$ qua $A(3;2)$ và vuông góc với $BD:3x+4y-7=0$ có phương trình là $AC:4x-3y-6=0$.
Vì $I=AC\cap BD$ nên $I\left(\frac95;\frac25\right)$.
Ta có $IA=d(A;BD)=\frac{|3\cdot3+4\cdot2-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$.
Do đó $R=\frac{IA}{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$.
Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có tâm $I\left(\frac95;\frac25\right)$, bán kính $R=\sqrt2$ có phương trình là $\left(x-\frac95\right)^2+\left(y-\frac25\right)^2=2$.