Cho bất phương trình $ \left ( { 2 ^ { x+1 } -\sqrt[] { 2 } } \right )\left ( { 2 ^ { x } -y } \right ) < 0 $

a) đúng. Bất phương trình xác định $ ∀x,y∈\mathbb{R} $. b) đúng. Với $ y=4, $ các giá trị $ x $ thỏa mãn bất phương trình là: $ -\frac { 1 } { 2 } < x < 2 $ Với $ y=4, $ $ Bpt⇔\left ( { 2 ^ { x+1 } -\sqrt[] { 2 } } \right )\left ( { 2 ^ { x } -4 } \right ) < 0⇔-\frac { 1 } { 2 } < x < 2 $ c) Sai. Với $ y≤0 $, bất phương trình nghiệm đúng $ ∀x≥-\frac { 1 } { 2 } $ Với $ y≤0:\left ( { 2 ^ { x } -y } \right )>0 ∀x $ $ Bpt⇔\left ( { 2 ^ { x+1 } -\sqrt[] { 2 } } \right ) < 0⇔x < -\frac { 1 } { 2 } $. d) đúng. Có $ 1024 $ giá trị nguyên dương $ y $ để ứng với mỗi $ y $ có không quá $ 10 $ số nguyên $ x $ thỏa mãn bất phương trình. Ta có $ \left( 2^x - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( 2^x - y \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (1): \frac{1}{\sqrt{2}} < 2^x < y \\ (2): y < 2^x < \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right. $ Nhận thấy (2) không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với $ y>0 $, bpt có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi $ \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } < 2 ^ { x } < y⇔-\frac { 1 } { 2 } < x < \log_{ 2 } y $ Nếu $ \log_{ 2 } y>10⇒x∈\left \{ \begin{array}{l} 0;1;2;...;10 \end{array} \right \} $ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán. $ ⇒\log_{ 2 } y≤10⇔y≤1024 $ Có $ 1024 $ giá trị nguyên dương $ y $ để ứng với mỗi $ y $ có không quá $ 10 $ số nguyên $ x $ thỏa mãn bất phương trình.