(THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa 2025) Cho hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ có cạnh bằng $ a $. Gọi $ O $ là tâm hình vuông $ BCC'B' $. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ điểm $ A' $ trùng gốc toạ độ. Quy ước $ a=1 $.Khi đó ta có tọa độ các điểm: $ A'(0;0;0) $,$ B'(1;0;0),C'(1;1;0),D'(0;1;0),A\left ( { 0;0;1 } \right ),B(1;0;1),C\left ( { 1;1;1 } \right )D\left ( { 0;1;1 } \right ) $ Vì $ O $ là trung điểm $ B'C $ nên tọa độ $ O\left ( { 1;\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. a) Ta có $ \overset\rightarrow { BD }=\left ( { -1;1;0 } \right ),\overset\rightarrow { B'C' }=\left ( { 0;1;0 } \right )⇒\overset\rightarrow { BD }.\overset\rightarrow { B'C' }=1=a $. Vậy a) là mệnh đề sai. b) $ \overset\rightarrow { AC' }=\left ( { 1;1;-1 } \right ),\overset\rightarrow { AB }=\left ( { 1;0;0 } \right ),\overset\rightarrow { AD }=\left ( { 0;1;0 } \right ),\overset\rightarrow { BB' }=\left ( { 0;0;-1 } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { AC' }=\left ( { 1;1;-1 } \right ),\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { BB' }=\left ( { 1;1;-1 } \right ) $ Vậy b) là mệnh đề đúng. c) $ \overset\rightarrow { DO }=\left ( { 1;-\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ),\overset\rightarrow { AB }=\left ( { 1;0;0 } \right ),-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }=\left ( { 0;\frac { -1 } { 2 };0 } \right ),\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AA' }=\left ( { 0;0;\frac { -1 } { 2 } } \right ) $ Khi đó $ \overset\rightarrow { DO }=\left ( { 1;-\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ),\overset\rightarrow { AB }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AA' }=\left ( { 1;-\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Vậy c) là mệnh đề đúng. d) $ \overset\rightarrow { DA' }=\left ( { 0;-1;-1 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 1;1;0 } \right ) $. Ta có $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { DA' },\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { \overset\rightarrow { DA' }.\overset\rightarrow { AC } } { \left | { \overset\rightarrow { DA' } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { AC } } \right | }=\frac { -1 } { 2 }⇒\left ( { \overset\rightarrow { DA' },\overset\rightarrow { AC } } \right )=120 ^ { 0 } . $ Vậy d) là mệnh đề sai.