(THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(4; 0; 2)$, $B(1; -4; -2)$ và $C(2; 1; 1)$.

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là: $$ G\Big(\frac{4 + 1 + 2}{3}; \frac{0 + (-4) + 1}{3}; \frac{2 + (-2) + 1}{3}\Big) = G\Big(\frac{7}{3}; -1; \frac{1}{3}\Big) $$ b) Tứ giác $ABDC$ là hình bình hành khi và chỉ khi: $$ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D - 2 = -3 \\ y_D - 1 = -4 \\ z_D - 1 = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = -1 \\ y_D = -3 \\ z_D = -3 \end{cases} $$ Vậy $D(-1; -3; -3)$. c) Ta có $\overrightarrow{BC} = (1; 5; 3)$ và $\overrightarrow{AC} = (-2; 1; -1)$. Do đó $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $C$. d) Vì $E$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên $E(a; 0; c)$. Ta có $\overrightarrow{BE} = (a - 1; 4; c + 2)$ và $\overrightarrow{BC} = (1; 5; 3)$. Vì $E$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $(Oxz)$ suy ra $B, C, E$ thẳng hàng nên hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương, do đó: $$ \overrightarrow{BE} = k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases} a - 1 = k \\ 4 = 5 k \\ c + 2 = 3 k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{9}{5} \\ k = \frac{4}{5} \\ c = \frac{2}{5} \end{cases} $$ Suy ra $E\Big(\frac{9}{5}; 0; \frac{2}{5}\Big) \Rightarrow \frac{2a}{c} + b = 9$.