Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 1
Biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi x ^ { 3 } +2 ^ { x } +{ \rm{ e } }x ^ { 3 } .2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { m }+\frac { 1 } { { \rm{ e } }lnn }ln\left ( { p+\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+\pi } } \right ) $ với $ m $, $ n $, $ p $ là các số nguyên dương. Tính tổng $ S=m+n+p $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi x ^ { 3 } +2 ^ { x } +{ \rm{ e } }x ^ { 3 } .2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 3 } +\frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }+J $.
Tính $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } =t\Rightarrow { \rm{ e } }.2 ^ { x } ln2{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t\Leftrightarrow 2 ^ { x } { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { { \rm{ e } }.ln2 }{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận: Khi $ x=0 $ thì $ t=\pi +{ \rm{ e } } $; khi $ x=1 $ thì $ t=\pi +2{ \rm{ e } } $.
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }\int _{ \pi +{ \rm{ e } } }^{ \pi +2{ \rm{ e } } } { \frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }\left | { ln\left | { t } \right | } \right ._{ \pi +{ \rm{ e } } } ^{ \pi +2{ \rm{ e } } }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }ln\left ( { 1+\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+\pi } } \right ) $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi x ^ { 3 } +2 ^ { x } +{ \rm{ e } }x ^ { 3 } .2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }ln\left ( { 1+\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+\pi } } \right ) $$ \Rightarrow m=4 $, $ n=2 $, $ p=1 $. Vậy $ S=7 $.
Tính $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } =t\Rightarrow { \rm{ e } }.2 ^ { x } ln2{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t\Leftrightarrow 2 ^ { x } { \rm{ d } }x=\frac { 1 } { { \rm{ e } }.ln2 }{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận: Khi $ x=0 $ thì $ t=\pi +{ \rm{ e } } $; khi $ x=1 $ thì $ t=\pi +2{ \rm{ e } } $.
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }\int _{ \pi +{ \rm{ e } } }^{ \pi +2{ \rm{ e } } } { \frac { 1 } { t }{ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }\left | { ln\left | { t } \right | } \right ._{ \pi +{ \rm{ e } } } ^{ \pi +2{ \rm{ e } } }=\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }ln\left ( { 1+\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+\pi } } \right ) $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \pi x ^ { 3 } +2 ^ { x } +{ \rm{ e } }x ^ { 3 } .2 ^ { x } } { \pi +{ \rm{ e } }.2 ^ { x } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { { \rm{ e } }ln2 }ln\left ( { 1+\frac { { \rm{ e } } } { { \rm{ e } }+\pi } } \right ) $$ \Rightarrow m=4 $, $ n=2 $, $ p=1 $. Vậy $ S=7 $.