Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 2
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=2 $ và $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 6x } \right ){ \rm{ d } }x }=14 $. Tính $ \int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
+ Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=2 $.
Đặt $ u=2x\Rightarrow { \rm{ d } }u=2{ \rm{ d } }x $; $ x=0\Rightarrow u=0 $; $ x=1\Rightarrow u=2 $.
Nên $ 2=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }u } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }u }=4 $.
+ Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 6x } \right ){ \rm{ d } }x }=14 $.
Đặt $ v=6x\Rightarrow { \rm{ d } }v=6{ \rm{ d } }x $; $ x=0\Rightarrow v=0 $; $ x=2\Rightarrow v=12 $.
Nên $ 14=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 6x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 6 }\int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v }=84 $.
+ Xét $ \int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ -2 }^{ 0 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ -2 }^{ 0 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=5\left | { x } \right |+2 $.
Khi $ -2 < x < 0 $, $ t=-5x+2 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-5{ \rm{ d } }x $; $ x=-2\Rightarrow t=12 $; $ x=0\Rightarrow t=2 $.
$ I_{ 1 } =\frac { -1 } { 5 }\int _{ 12 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 5 }\left[ \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } \right] =\frac { 1 } { 5 }\left ( { 84-4 } \right )=16 $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=5\left | { x } \right |+2 $.
Khi $ 0 < x < 2 $, $ t=5x+2 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=5{ \rm{ d } }x $; $ x=2\Rightarrow t=12 $; $ x=0\Rightarrow t=2 $.
$ I_{ 2 } =\frac { 1 } { 5 }\int _{ 2 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 5 }\left[ \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } \right] =\frac { 1 } { 5 }\left ( { 84-4 } \right )=16 $.
Vậy $ \int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x }=32 $.
Đặt $ u=2x\Rightarrow { \rm{ d } }u=2{ \rm{ d } }x $; $ x=0\Rightarrow u=0 $; $ x=1\Rightarrow u=2 $.
Nên $ 2=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }u } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }u }=4 $.
+ Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 6x } \right ){ \rm{ d } }x }=14 $.
Đặt $ v=6x\Rightarrow { \rm{ d } }v=6{ \rm{ d } }x $; $ x=0\Rightarrow v=0 $; $ x=2\Rightarrow v=12 $.
Nên $ 14=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 6x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 6 }\int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v }=84 $.
+ Xét $ \int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ -2 }^{ 0 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ -2 }^{ 0 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=5\left | { x } \right |+2 $.
Khi $ -2 < x < 0 $, $ t=-5x+2 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-5{ \rm{ d } }x $; $ x=-2\Rightarrow t=12 $; $ x=0\Rightarrow t=2 $.
$ I_{ 1 } =\frac { -1 } { 5 }\int _{ 12 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 5 }\left[ \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } \right] =\frac { 1 } { 5 }\left ( { 84-4 } \right )=16 $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=5\left | { x } \right |+2 $.
Khi $ 0 < x < 2 $, $ t=5x+2 $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=5{ \rm{ d } }x $; $ x=2\Rightarrow t=12 $; $ x=0\Rightarrow t=2 $.
$ I_{ 2 } =\frac { 1 } { 5 }\int _{ 2 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 5 }\left[ \int _{ 0 }^{ 12 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } \right] =\frac { 1 } { 5 }\left ( { 84-4 } \right )=16 $.
Vậy $ \int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { 5\left | { x } \right |+2 } \right ){ \rm{ d } }x }=32 $.