Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 3
Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=4 $, $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=6 $. Tính $ I=\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { 2x+1 } \right | } \right )dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ u=2x+1 $$ \Rightarrow dx=\frac { 1 } { 2 }du $. Khi $ x=-1 $ thì $ u=-1 $. Khi $ x=1 $ thì $ u=3 $.
Nên $ I=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 3 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du } } \right ) $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=4 $. Đặt $ x=-u $$ \Rightarrow dx=-du $.
Khi $ x=0 $ thì $ u=0 $. Khi $ x=1 $ thì $ u=-1 $.
Nên $ 4=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }= $$ -\int _{ 0 }^{ -1 } { f\left ( { -u } \right )du } =\int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du } $.
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=6 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du }=6 $.
Nên $ I=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4+6 } \right )=5 $.
Nên $ I=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 3 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { \left | { u } \right | } \right )du } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du } } \right ) $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=4 $. Đặt $ x=-u $$ \Rightarrow dx=-du $.
Khi $ x=0 $ thì $ u=0 $. Khi $ x=1 $ thì $ u=-1 $.
Nên $ 4=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }= $$ -\int _{ 0 }^{ -1 } { f\left ( { -u } \right )du } =\int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du } $.
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=6 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du }=6 $.
Nên $ I=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { -u } \right )du }+\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right )du } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4+6 } \right )=5 $.