Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 4
Biết $ \int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { xsin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }=\frac { \pi ^ { a } } { b } $ trong đó $ a $, $ b $ là các số nguyên dương. Tính $ P=2a+b $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { xsin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Đặt $ x=\pi -t\Rightarrow dx=-dt $.
Khi $ x=0 $ thì $ t=\pi $.
Khi $ x=\pi $ thì $ t=0 $.
Ta có $ I=-\int _{ \pi }^{ 0 } { \frac { \left ( { \pi -t } \right )sin ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right ) } { sin ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right )+cos ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right ) }dt } =\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { \left ( { \pi -x } \right )sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\pi \int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }-\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { xsin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\pi \int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }-I $.
Suy ra $ I=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Xét tích phân $ J=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Đặt $ x=\frac { \pi } { 2 }-u\Rightarrow dx=-du $.
Khi $ x=\frac { \pi } { 2 } $ thì $ u=0 $.
Khi $ x=\pi $ thì $ t=-\frac { \pi } { 2 } $.
Nên $ J=-\int _{ 0 }^{ -\frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right ) } { sin ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right )+cos ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right ) }du } =\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Vì hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x } $ là hàm số chẵn nên:
$ \int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }d }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $
Từ đó ta có:
$ I=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\frac { \pi } { 2 }\left ( { \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } } } \right ) =\frac { \pi } { 2 }\left ( { \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } } } \right ) =\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { dx }=\frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } $.
Như vậy $ a=2 $, $ b=4 $. Do đó $ P=2a+b=2.2+4=8 $.
Đặt $ x=\pi -t\Rightarrow dx=-dt $.
Khi $ x=0 $ thì $ t=\pi $.
Khi $ x=\pi $ thì $ t=0 $.
Ta có $ I=-\int _{ \pi }^{ 0 } { \frac { \left ( { \pi -t } \right )sin ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right ) } { sin ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right )+cos ^ { 2018 } \left ( { \pi -t } \right ) }dt } =\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { \left ( { \pi -x } \right )sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\pi \int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }-\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { xsin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\pi \int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }-I $.
Suy ra $ I=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Xét tích phân $ J=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Đặt $ x=\frac { \pi } { 2 }-u\Rightarrow dx=-du $.
Khi $ x=\frac { \pi } { 2 } $ thì $ u=0 $.
Khi $ x=\pi $ thì $ t=-\frac { \pi } { 2 } $.
Nên $ J=-\int _{ 0 }^{ -\frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right ) } { sin ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right )+cos ^ { 2018 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }-u } \right ) }du } =\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $.
Vì hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x } $ là hàm số chẵn nên:
$ \int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }d }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } $
Từ đó ta có:
$ I=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } =\frac { \pi } { 2 }\left ( { \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } } } \right ) =\frac { \pi } { 2 }\left ( { \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx } } } \right ) =\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \frac { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x } { sin ^ { 2018 } x+cos ^ { 2018 } x }dx }=\frac { \pi } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { dx }=\frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } $.
Như vậy $ a=2 $, $ b=4 $. Do đó $ P=2a+b=2.2+4=8 $.