Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 5
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left ( { 0;3 } \right ) $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2;\,\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=8. $ Giá trị của tích phân $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { 2x-1 } \right | } \right ){ \rm{ d } }x }=? $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { 2x-1 } \right | } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ -1 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x }=I+J $
Tính $ I=\int _{ -1 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ t=1-2x\Rightarrow { \rm{ d } }t=-2{ \rm{ d } }x. $ Đổi cận $ x=-1\Rightarrow t=3;\,x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0 $
$ \Rightarrow I=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 3 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }.8=4 $
Tính $ J=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ t=2x-1\Rightarrow { \rm{ d } }t=2{ \rm{ d } }x. $ Đổi cận $ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0;\,x=1\Rightarrow t=1 $
$ \Rightarrow J=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }.2=1 $
Vậy $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { 2x-1 } \right | } \right ){ \rm{ d } }x }=I+J=4+1=5 $.
Tính $ I=\int _{ -1 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ t=1-2x\Rightarrow { \rm{ d } }t=-2{ \rm{ d } }x. $ Đổi cận $ x=-1\Rightarrow t=3;\,x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0 $
$ \Rightarrow I=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 3 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }.8=4 $
Tính $ J=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ t=2x-1\Rightarrow { \rm{ d } }t=2{ \rm{ d } }x. $ Đổi cận $ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0;\,x=1\Rightarrow t=1 $
$ \Rightarrow J=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }.2=1 $
Vậy $ \int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { \left | { 2x-1 } \right | } \right ){ \rm{ d } }x }=I+J=4+1=5 $.