Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 6
Biết $ I=\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1+x\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 8 } { 3 }+\frac { 2 } { \sqrt[] { a } }-\frac { 3 } { \sqrt[] { b } } $ với $ a,\ b $ là các số nguyên dương. Tính $ P=4a-b $.
Xem lời giải
Lời giải
$ I=\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1+x\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx }+\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1 } { x }dx } =I_{ 1 } +\left | { ln\left | { x } \right | } \right ._{ \sqrt[] { 3 } } ^{ 2\sqrt[] { 2 } } =\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 8 } { 3 }+I_{ 1 } $.
$ I_{ 1 } =\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =-\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { x ^ { 2 } -\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =-\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \left ( { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x } } \right ) ^ { ' } dx } =-\left | { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x } } \right ._{ \sqrt[] { 3 } } ^{ 2\sqrt[] { 2 } } =\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }-\frac { 3 } { 2\sqrt[] { 2 } } $
$ \Rightarrow I=\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 8 } { 3 }+\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }-\frac { 3 } { \sqrt[] { 8 } } $ $ \Rightarrow a=3 $; $ b=8 $$ \Rightarrow P=4 $.
$ I_{ 1 } =\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =-\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \frac { x ^ { 2 } -\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } { x ^ { 2 } \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx } =-\int _{ \sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 2 } } { \left ( { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x } } \right ) ^ { ' } dx } =-\left | { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } { x } } \right ._{ \sqrt[] { 3 } } ^{ 2\sqrt[] { 2 } } =\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }-\frac { 3 } { 2\sqrt[] { 2 } } $
$ \Rightarrow I=\frac { 1 } { 2 }ln\frac { 8 } { 3 }+\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }-\frac { 3 } { \sqrt[] { 8 } } $ $ \Rightarrow a=3 $; $ b=8 $$ \Rightarrow P=4 $.