Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm xác định trên $ \mathbb{R} $ là $ f'\left ( { x } \right )=x\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } +3 } $. Giả sử $ a $, $ b $ là hai số thực thay đổi sao cho $ a < b\leq 1 $. Giá trị nhỏ nhất của $ f\left ( { a } \right )-f\left ( { b } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { b } \right )-f\left ( { a } \right )=\int _{ a }^{ b } { f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x =\int _{ a }^{ b } { x\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } +3 } }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ \sqrt[] { x ^ { 2 } +3 }=t $$ \Rightarrow x ^ { 2 } +3=t ^ { 2 } $$ \Rightarrow x{ \rm{ d } }x=t{ \rm{ d } }t $.
Suy ra: $ f\left ( { b } \right )-f\left ( { a } \right )=\int _{ \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } }^{ \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { \left ( { t ^ { 2 } -4 } \right ).t.t{ \rm{ d } }t } =\int _{ \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } }^{ \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { \left ( { t ^ { 4 } -4t ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }t =\left | { \left ( { \frac { t ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 4t ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } } ^{ \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } =\left[ \frac { \left ( { b ^ { 2 } +3 } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { 5 }-\frac { 4\left ( { b ^ { 2 } +3 } \right )\sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { 3 } \right]-\left[ \frac { \left ( { a ^ { 2 } +3 } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } } { 5 }-\frac { 4\left ( { a ^ { 2 } +3 } \right )\sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } } { 3 } \right] $.
Như vậy:
$ f\left ( { a } \right )-f\left ( { b } \right )=\left ( { \frac { \left ( { a ^ { 2 } +3 } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } } { 5 }-\frac { 4\left ( { a ^ { 2 } +3 } \right )\sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } } { 3 } } \right )-\left ( { \frac { \left ( { b ^ { 2 } +3 } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { 5 }-\frac { 4\left ( { b ^ { 2 } +3 } \right )\sqrt[] { b ^ { 2 } +3 } } { 3 } } \right ) $.
Xét hàm $ g\left ( { u } \right )=\frac { u ^ { 5 } } { 5 }-\frac { 4u ^ { 3 } } { 3 } $.
+ Với $ u=\sqrt[] { a ^ { 2 } +3 } $. Vì $ a < 1 $ nên $ u\geq \sqrt[] { 3 } $.
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của $ g\left ( { u } \right ) $ trên $ \left [ { \sqrt[] { 3 };+\infty } \right ) $.
Ta có: $ g'\left ( { u } \right )=u ^ { 4 } -4u ^ { 2 } =0\Leftrightarrow \left[ u=0 \\ u=-2 \\ u=2 \right. $.
Bảng biến thiên:
Suy ra $ \mathop { min } \limits_{ \left [ { \sqrt[] { 3 };+\infty } \right ) } g\left ( { u } \right )=g\left ( { 2 } \right ) =-\frac { 64 } { 15 } $. Khi $ u=2\Rightarrow \sqrt[] { a ^ { 2 } +3 }=2\Leftrightarrow a ^ { 2 } =1 $$ \Leftrightarrow \left[ a=1 \\ a=-1 \right. $. Vì $ a < 1 $ nên $ a=-1 $.
Với $ a=-1 $ ta có $ -1 < b\leq 1 $, suy ra$ \sqrt[] { 3 }\leq \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 }\leq 2 $.
Ta tìm giá trị lớn nhất của $ g\left ( { u } \right ) $ trên $ \left[ \sqrt[] { 3 };2 \right] $. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy $ \mathop { max } \limits_{ \left[ \sqrt[] { 3 };2 \right] } g\left ( { u } \right )=g\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) =-\frac { 11\sqrt[] { 3 } } { 5 } $. Khi đó $ \sqrt[] { b ^ { 2 } +3 }=\sqrt[] { 3 } $$ \Leftrightarrow b=0 $.
Vậy $ f\left ( { a } \right )-f\left ( { b } \right ) $ đạt giá trị nhỏ nhất là $ -\frac { 64 } { 15 } $$ -\left ( { -\frac { 11\sqrt[] { 3 } } { 5 } } \right ) =\frac { 33\sqrt[] { 3 }-64 } { 15 } $ khi $ a=-1 $; $ b=0 $.
