Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 8
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ax+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +b,\ x < 1 \end{array} \right. $ với $ a,b $ là các tham số thực. Biết rằng $ f\left ( { x } \right ) $liên tục và có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $, tính $ I=\int _{ -1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x $.
Xem lời giải
Lời giải
+ Hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ax+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +b,\ x < 1 \end{array} \right. $ liên tục trên $ \mathbb{R} \Rightarrow f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=1 $.
$ f\left ( { 1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \left ( { ax+1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \left ( { x ^ { 2 } +b } \right )=b+1 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=1\Leftrightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow a+1=b+1\Leftrightarrow a=b $.
+ Với $ a=b $, $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ax+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +a,\ x < 1 \end{array} \right. $.
Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} \Rightarrow f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm tại $ x=1 $.
$ f\left ( { 1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { ax+1-\left ( { a+1 } \right ) } { x-1 }=a $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } +a-\left ( { a+1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 }=2 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm tại $ x=1 $$ \Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }\Leftrightarrow a=2 $
Vậy $ a=b=2 $.
+ Với $ a=b=2 $, $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} 2x+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +2,\ x < 1 \end{array} \right. $.
$ I=\int _{ -1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x=\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x =\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } +2 } \right ){ \rm{ d } } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2x+1 } \right ){ \rm{ d } } }x=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 26 } { 3 } $.
$ f\left ( { 1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \left ( { ax+1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \left ( { x ^ { 2 } +b } \right )=b+1 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=1\Leftrightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 1 } \right )\Leftrightarrow a+1=b+1\Leftrightarrow a=b $.
+ Với $ a=b $, $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} ax+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +a,\ x < 1 \end{array} \right. $.
Hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} \Rightarrow f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm tại $ x=1 $.
$ f\left ( { 1 } \right )=a+1 $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { ax+1-\left ( { a+1 } \right ) } { x-1 }=a $.
$ \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } +a-\left ( { a+1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 }=2 $.
$ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm tại $ x=1 $$ \Rightarrow \mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\mathop { lim } \limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }\Leftrightarrow a=2 $
Vậy $ a=b=2 $.
+ Với $ a=b=2 $, $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} 2x+1,\ x\geq 1 \\ x ^ { 2 } +2,\ x < 1 \end{array} \right. $.
$ I=\int _{ -1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x=\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } } }x =\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } +2 } \right ){ \rm{ d } } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2x+1 } \right ){ \rm{ d } } }x=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 26 } { 3 } $.