Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 9
Biết $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }+2\sqrt[3] { \frac { 1 } { x ^ { 8 } }-\frac { 1 } { x ^ { 11 } } } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { a } { b }\sqrt[3] { c } $, với $ a,\,\,b,\,\,c $ nguyên dương, $ \frac { a } { b } $ tối giản và $ c < a $. Tính $ S=a+b-c $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }+2\sqrt[3] { \frac { 1 } { x ^ { 8 } }-\frac { 1 } { x ^ { 11 } } } } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
Suy ra $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }+\frac { 2 } { x ^ { 3 } }\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { 1+\frac { 2 } { x ^ { 3 } } } \right )\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right]{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ u=\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }\Rightarrow u ^ { 3 } =x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }\Rightarrow 3u ^ { 2 } { \rm{ d } }u=\left ( { 1+\frac { 2 } { x ^ { 3 } } } \right ){ \rm{ d } }x $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=1\Rightarrow u=0 \\ x=2\Rightarrow u=\sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } \end{array} \right. $. Do đó $ I=3\int _{ 0 }^{ \sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } } { u ^ { 3 } { \rm{ d } }u }=\left | { \frac { 3 } { 4 }u ^ { 4 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } }=\frac { 21 } { 16 }\sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } }=\frac { 21 } { 32 }\sqrt[3] { 14 } $.
$ \Rightarrow a=21\,,\,\,b=32\,,\,\,c=14 $. Suy ra $ S=a+b-c=39 $.
Suy ra $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }+\frac { 2 } { x ^ { 3 } }\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { 1+\frac { 2 } { x ^ { 3 } } } \right )\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right]{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ u=\sqrt[3] { x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }\Rightarrow u ^ { 3 } =x-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }\Rightarrow 3u ^ { 2 } { \rm{ d } }u=\left ( { 1+\frac { 2 } { x ^ { 3 } } } \right ){ \rm{ d } }x $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=1\Rightarrow u=0 \\ x=2\Rightarrow u=\sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } \end{array} \right. $. Do đó $ I=3\int _{ 0 }^{ \sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } } { u ^ { 3 } { \rm{ d } }u }=\left | { \frac { 3 } { 4 }u ^ { 4 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } } }=\frac { 21 } { 16 }\sqrt[3] { \frac { 7 } { 4 } }=\frac { 21 } { 32 }\sqrt[3] { 14 } $.
$ \Rightarrow a=21\,,\,\,b=32\,,\,\,c=14 $. Suy ra $ S=a+b-c=39 $.