Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 10
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $và thỏa mãn $ \int _{ -5 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=9 $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { 1-3x } \right )+9 \right]{ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { 1-3x } \right )+9 \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { 9{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x }+18 $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x } $, đặt $ t=1-3x $ $ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-3{ \rm{ d } }x\Rightarrow { \rm{ d } }x=-\frac { { \rm{ d } }t } { 3 } $.
Đổi cận khi $ x=0\Rightarrow t=1 $; $ x=2\Rightarrow t=-5 $. Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ -5 } { f(t){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(t){ \rm{ d } }t } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { 1-3x } \right )+9 \right]{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(t){ \rm{ d } }t }+18=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(x){ \rm{ d } }x }+18=21 $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x } $, đặt $ t=1-3x $ $ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-3{ \rm{ d } }x\Rightarrow { \rm{ d } }x=-\frac { { \rm{ d } }t } { 3 } $.
Đổi cận khi $ x=0\Rightarrow t=1 $; $ x=2\Rightarrow t=-5 $. Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 1-3x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ -5 } { f(t){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(t){ \rm{ d } }t } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { 1-3x } \right )+9 \right]{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(t){ \rm{ d } }t }+18=\frac { 1 } { 3 }\int _{ -5 }^{ 1 } { f(x){ \rm{ d } }x }+18=21 $.