(CD12) Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn (Hình).
Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$ (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch ($1$ inch $=2,54$ cm). Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F=F(L)$ là một hàm số với biến số là $L$.
a) Xác định công thức tính hàm số $F=F(L)$.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $F=F(L)$.
c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{F_3}$
(Hình)
Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OA_1}$ cùng phương, do đó tồn tại số $k\neq0$ sao cho: $\overrightarrow{OA_1}=k\cdot\overrightarrow{OA}$, tương tự, $\overrightarrow{OB_1}=k\cdot\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC_1}=k\cdot\overrightarrow{OC}$.
Suy ra, $F=\|\overrightarrow{F_1}\|=k\cdot\|\overrightarrow{OA}\|=k\cdot L$.
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$. Gọi $I$ là tâm của chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $I$ cũng là trọng tâm của tam giác. Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác $ABC$, ta được:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OI}\Leftrightarrow\frac{1}{k}(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1})=3\overrightarrow{OI}$ hay $\overrightarrow{P}=3k\cdot\overrightarrow{OI}$.
Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là $24$ N, do đó $OI=\frac{8}{k}$.
Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều $O.ABC$, có $OI$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$. Khi đó: $OI=\sqrt{OA^2-AI^2}=\sqrt{L^2-18^2}=\sqrt{L^2-324}$.
Suy ra, $\frac{8}{k}=\sqrt{L^2-324}$ hay $k=\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}$.
Thay $k=\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}$ vào (1), ta được công thức tính hàm số: $F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ N.
b) Khảo sát hàm số $F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}},(L>18)$.
$\lim_{L\to18^+}F=+\infty$, do đó đường thẳng $L=18$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\lim_{L\to+\infty}F=8$, do đó đường thẳng $F=8$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có, $F'=\frac{-2592}{(L^2-324)\cdot\sqrt{L^2-324}}<0,\forall L>18$.
Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $(18;+\infty)$.
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 10 N, ta có:
$\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}=10\Rightarrow8L=10\sqrt{L^2-324}\Leftrightarrow L=30$ (thoả mãn điều kiện $L>18$).
Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình, ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 10 N là 30 inch.
