Bài tự luận · Bài 24
Dạng 2. Áp dụng tính chất của giá trị lượng giác Phương pháp: Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$. Ta có: $\cos\alpha =x;\sin\alpha =y$ $\tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}(\cos\alpha =x\neq 0);\cot\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}(\sin\alpha =y\neq 0).$ - $\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =1$ với mọi $\alpha$; - $\tan\alpha \cdot \cot\alpha =1$ với $\cos\alpha \neq 0,\sin\alpha \neq 0$; - $1+\tan^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$ với $\cos\alpha \neq 0$ - $1+\cot^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha}$ với $\sin\alpha \neq 0$.
Bài tự luận Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 24
(KNTT 11) Cho $\sin a+\cos a=m$. Hãy tính theo $m$.
a) $\sin a\cos a$;
b) $\sin^{3}a+\cos^{3}a$;
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a$.
a) $\sin a\cos a$;
b) $\sin^{3}a+\cos^{3}a$;
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\sin a+\cos a=m$ nên $(\sin a+\cos a)^{2}=m^{2}$ hay $1+2\sin a\cos a=m^{2}$.
Từ đó suy ra $\sin a\cos a=\frac{m^{2}-1}{2}$.
b) $\sin^{3}a+\cos^{3}a=(\sin a+\cos a)^{3}-3\sin a\cos a(\sin a+\cos a)$
$=m^{3}-3m\frac{m^{2}-1}{2}=\frac{3m-m^{3}}{2}.$
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a=\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)^{2}-2\sin^{2}a\cos^{2}a$
$=1-2\sin^{2}a\cos^{2}a=1-\frac{\left( m^{2}-1 \right)^{2}}{2}.$
Từ đó suy ra $\sin a\cos a=\frac{m^{2}-1}{2}$.
b) $\sin^{3}a+\cos^{3}a=(\sin a+\cos a)^{3}-3\sin a\cos a(\sin a+\cos a)$
$=m^{3}-3m\frac{m^{2}-1}{2}=\frac{3m-m^{3}}{2}.$
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a=\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)^{2}-2\sin^{2}a\cos^{2}a$
$=1-2\sin^{2}a\cos^{2}a=1-\frac{\left( m^{2}-1 \right)^{2}}{2}.$