Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $f'\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm $x=1;x=2$. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x^2+2x-m \right)$, có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -20;20 \right]$ để phương trình $g'\left( x \right)=0$ có nhiều nghiệm nhất?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét $g\left( x ight)=f\left( x^2+2x-m ight)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $g'\left( x ight)=\left( 2x+2 ight).f'\left( x^2+2x-m ight)$ Khi đó phương trình: $g'\left( x ight)=0\Leftrightarrow \left( 2x+2 ight).f'\left( x^2+2x-m ight)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+2=0 \ x^2+2x-m=1 \ x^2+2x-m=2 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \ h\left( x ight)=x^2+2x-m-1=0\,\,\,\,\left( * ight)\, \ k\left( x ight)=x^2+2x-m-2=0\,\,\,\,\left( ** ight) \end{array} ight.$ Để phương trình $g'\left( x ight)=0$có nhiều nghiệm nhất thì phương trình $\left( * ight)$và $\left( ** ight)$ đều có 2 nghiệm phân biệt, đồng thời các nghiệm đó khác nhau và khác$-1$. Nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta'_{h\left( x ight)}=m+2>0\, \ h\left( -1 ight)=-m-2
eq 0 \ \Delta'_{k\left( x ight)}=m+3>0 \ k\left( -1 ight)=-m-3
eq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow m>-2$. Do $m$là số nguyên, $m\in \left[ -20;20 ight]$ và thỏa mãn điều kiện $m>-2$ nên $m\in \left\{ -1;0;1;2;....;20 ight\}$

Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 49