Bài tập nâng cao · Bài 50
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 50
Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi d là khoảng cách từ điểm $A\left( 1;1 \right)$ đến một tiếp tuyến bất kì của đồ thị $\left( C \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của d?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=\frac{-3}{\left( x-1 \right)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến (d) của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( x_0;y_0 \right)$: $y=\frac{-3}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{x_0+2}{x_0-1}$
$\begin{array}{l} d\left( A;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \frac{-3}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( 1-x_0 \right)-1+\frac{x_0+2}{x_0-1} \right|}{\sqrt{\frac{9}{\left( x_0-1 \right)^4}+1}}=\frac{\left| \frac{3-\left( x_0-1 \right)+x_0+2}{x_0-1} \right|}{\sqrt{\frac{9+\left( x_0-1 \right)^4}{\left( x_0-1 \right)^4}}}=\frac{6\left| x_0-1 \right|}{\sqrt{9+\left( x_0-1 \right)^4}}\leq \frac{6\left| x_0-1 \right|}{\sqrt{2.3\left( x_0-1 \right)^2}} \\ \Leftrightarrow d\left( A;\left( d \right) \right)\leq \sqrt{6} \end{array}$Vậy $d_{\max}=\sqrt{6}$.
Phương trình tiếp tuyến (d) của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( x_0;y_0 \right)$: $y=\frac{-3}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( x-x_0 \right)+\frac{x_0+2}{x_0-1}$
$\begin{array}{l} d\left( A;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \frac{-3}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( 1-x_0 \right)-1+\frac{x_0+2}{x_0-1} \right|}{\sqrt{\frac{9}{\left( x_0-1 \right)^4}+1}}=\frac{\left| \frac{3-\left( x_0-1 \right)+x_0+2}{x_0-1} \right|}{\sqrt{\frac{9+\left( x_0-1 \right)^4}{\left( x_0-1 \right)^4}}}=\frac{6\left| x_0-1 \right|}{\sqrt{9+\left( x_0-1 \right)^4}}\leq \frac{6\left| x_0-1 \right|}{\sqrt{2.3\left( x_0-1 \right)^2}} \\ \Leftrightarrow d\left( A;\left( d \right) \right)\leq \sqrt{6} \end{array}$Vậy $d_{\max}=\sqrt{6}$.