Bài tập nâng cao · Bài 51
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 51
Cho hàm số $y=\frac{x-2}{1-x}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( m;1 \right)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$để có đúng 1 tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $A$. Tính tổng các bình phương các phần tử của $S$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $d$ qua điểm $A\left( m;1 \right)$ có hệ số góc $k$: $y=k\left( x-m \right)+1\Leftrightarrow y=kx-km+1$
Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến duy nhất với $\left( C \right):y=\frac{x-2}{1-x}$ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:$\left\{ \begin{array}{l} kx-km+1=\frac{x-2}{1-x} \\ k=\left( \frac{x-2}{-x+1} \right)'=\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}x-\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}m+1=\frac{x-2}{1-x} \\ k=\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow \frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}x-\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}m+1=\frac{x-2}{1-x}\Leftrightarrow -x+m+\left( 1-x \right)^2=\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)(1-x)=-x+m+1\left( 1-x \right)^2\Leftrightarrow -2x^2+6x-3-m=0$
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=-2x^2+6x-3-m=0$ có nghiệm duy nhất khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'=9-6-2m=0 \\ g\left( 1 \right)\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2m=0 \\ m\neq 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}\Rightarrow m^2=\frac{9}{4}$.
Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến duy nhất với $\left( C \right):y=\frac{x-2}{1-x}$ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:$\left\{ \begin{array}{l} kx-km+1=\frac{x-2}{1-x} \\ k=\left( \frac{x-2}{-x+1} \right)'=\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}x-\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}m+1=\frac{x-2}{1-x} \\ k=\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow \frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}x-\frac{-1}{\left( 1-x \right)^2}m+1=\frac{x-2}{1-x}\Leftrightarrow -x+m+\left( 1-x \right)^2=\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)(1-x)=-x+m+1\left( 1-x \right)^2\Leftrightarrow -2x^2+6x-3-m=0$
$\Leftrightarrow g\left( x \right)=-2x^2+6x-3-m=0$ có nghiệm duy nhất khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta'=9-6-2m=0 \\ g\left( 1 \right)\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3-2m=0 \\ m\neq 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}\Rightarrow m^2=\frac{9}{4}$.