(CTST11) Chứng minh rằng các hàm số sau là các hàm số tuần hoàn:
a) $y=5\sin\frac{x}{4}$
b) $y=-\tan\frac{x}{2}$
c) $y=\cot\left( x-\frac{\pi}{3} \right)$
d) $y=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} \right)$

Question

Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Phương pháp Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T
eq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$. *y = sin(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = cos(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a ight|}$ *y = tan(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ *y = cot(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a ight|}$ $\bullet$ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số $y\,\,=\,\,f_{1}(x)\,\,\pm \,\,f_{2}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. (CTST11) Chứng minh rằng các hàm số sau là các hàm số tuần hoàn: a) $y=5\sin\frac{x}{4}$ b) $y=-	an\frac{x}{2}$ c) $y=\cot\left( x-\frac{\pi}{3} ight)$ d) $y=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} ight)$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Hàm số $y=5\sin\frac{x}{4}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $x\pm 8\pi \in \mathbb{R}$ và $5\sin\frac{x+8\pi}{4}=5\sin\left( \frac{x}{4}+2\pi ight)=5\sin\frac{x}{4}$. Do đó hàm số $y=5\sin\frac{x}{4}$ là hàm số tuần hoàn. b) Hàm số $y=-	an\frac{x}{2}$ xác định khi và chỉ $\frac{x}{2}
eq \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức là $x
eq \pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Với mọi $x\in D$, ta có $x\pm 2\pi 
eq \pi \pm 2\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x\pm 2\pi 
eq \pi +(k\pm 1)2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, cũng có nghĩa là $x\pm 2\pi 
eq \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, hay $x\pm 2\pi \in D$. Mặt khác, ta lại có $-	an\frac{x+2\pi}{2}=-	an\left( \frac{x}{2}+\pi ight)=-	an\frac{x}{2}$. Do đó hàm số $y=-	an\frac{x}{2}$ là hàm số tuần hoàn. c) Hàm số $y=\cot\left( x-\frac{\pi}{3} ight)$ xác định khi và chỉ khi $x-\frac{\pi}{3}
eq k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, tức là $x
eq \frac{\pi}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$. Với mọi $x\in D$, ta có $x\pm \pi 
eq \frac{\pi}{3}\pm \pi +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x\pm \pi 
eq \frac{\pi}{3}+(k\pm 1)\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, cũng có nghĩa là $x\pm \pi 
eq \frac{\pi}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, hay $x\pm \pi \in D$. Mặt khác, ta lại có $\cot\left[ (x+\pi )-\frac{\pi}{3} ight]=\cot\left[ \left( x-\frac{\pi}{3} ight)+\pi ight]=\cot\left( x-\frac{\pi}{3} ight)$. Do đó hàm số $y=\cot\left( x-\frac{\pi}{3} ight)$ là hàm số tuần hoàn. d) Hàm số $y=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} ight)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có: $x\pm 6\pi \in \mathbb{R}$ và $\cos\left( \frac{x+6\pi}{3}+\frac{\pi}{4} ight)=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}+2\pi ight)=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} ight)$. Do đó hàm số $y=\cos\left( \frac{x}{3}+\frac{\pi}{4} ight)$ là hàm số tuần hoàn.

Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 15