Bài tập nâng cao · Bài 22

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 22

Xem lời giải

Lời giải

a) Giả sử đoạn thẳng đã cho có độ dài bằng 1. Bẻ ngẫu nhiên đoạn thẳng đó thành ba đoạn thẳng có độ dài là $ x,y,1-x-y $ với $ x,y\in (0;1) $ và $ 1-x-y>0 $. Trong mặt phẳng $ Oxy $, miền $ Ω=\left \{ \begin{array}{l} (x;y)\in \mathbb{R} ^ { 2 } \|x>0;y>0;1-x-y>0 \end{array} \right \} $ là miền trong của tam giác $ OAB $, với $ O(0;0),A(1;0),B(0;1) $ (xem hình vẽ).

Điều kiện cần và đủ để ba đoạn thẳng có độ dài $ x,y,1-x-y $ là ba cạnh của một tam giác là $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x+y>1-x-y>0 \\ x+1-x-y>y>0 \\ y+1-x-y>x>0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 0 < x < \frac { 1 } { 2 } \\ 0 < y < \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } < x+y < 1. \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Gọi $ M $ là biến cố: "Thu được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác". Trong mặt phẳng $ Oxy $, miền $ M=\left \{ \begin{array}{l} (x;y)\in \mathbb{R} ^ { 2 } \|0 < x < \frac { 1 } { 2 };0 < y < \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } < x+y < 1 \end{array} \right \} $ là miền trong của tam giác $ CDE $, với $ C\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ),D\left ( { 0;\frac { 1 } { 2 } } \right ),E\left ( { \frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $. Các điểm này lần lượt là trung điểm của $ AB,OB,OA $. Vậy $ P(M)=\frac { S(M) } { S(Ω) }=\frac { S_{ CDE } } { S_{ OAB } }=\frac { 1 } { 4 } $.
b) Xét biến cố $ N $: "Thu được ba đoạn thẳng đều lớn hơn $ \frac { 1 } { 4 } $ đoạn thẳng đã cho". Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 1>x>\frac { 1 } { 4 } \\ 1>y>\frac { 1 } { 4 } \\ 1-x-y>\frac { 1 } { 4 } \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { 1 } { 4 } < x < 1 \\ \frac { 1 } { 4 } < y < 1 \\ x+y < \frac { 3 } { 4 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Trong mặt phẳng $ Oxy $, miền $ \left \{ \begin{array}{l} N=(x;y)\in \mathbb{R} ^ { 2 } \|\frac { 1 } { 4 } < x < 1;\frac { 1 } { 4 } < y < 1;x+y < \frac { 3 } { 4 } \end{array} \right \} $ là miền trong của tam giác $ GHK $, với $ G\left ( { \frac { 1 } { 4 };\frac { 1 } { 4 } } \right ),H\left ( { \frac { 1 } { 4 };\frac { 1 } { 2 } } \right ),K\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 4 } } \right ) $ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $ DE,DC,CE $. Vậy $ P(N)=\frac { S(N) } { S(Ω) }=\frac { S_{ GHK } } { S_{ OAB } }=\frac { 1 } { 4 }\cdot \frac { S_{ CDE } } { S_{ OAB } }=\frac { 1 } { 16 } $.
c) Ta cần tính xác suất $ P(N∣M) $. Vì $ N⊂M $ nên $ N∩M=N $. Vậy
$ P(N\|M)=\frac { P(N∩M) } { P(M) }=\frac { P(N) } { P(M) }=\frac { S(N) } { S(M) }=\frac { S_{ GHK } } { S_{ CDE } }=\frac { 1 } { 4 } $
d) Ta có $ P(M\|N)=\frac { P(N∩M) } { P(N) }=\frac { P(N) } { P(N) }=1 $.