Gout là một dạng viêm khớp gây đau khớp và sưng khớp. Bệnh xuất hiện khi hàm lượng acid uric ở trong máu tăng cao và tạo nên các tinh thể sắc nhọn tích tụ lại ở những khớp xương gây nên tình trạng sưng đỏ và đau dữ dội. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát thói quen dinh dưỡng của 80000 phụ nữ từ 22 tuổi trở lên và nhận thấy nhưng người uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày sẽ tăng nguy cơ mắc bệnh gout, do đường hoa quả (fructose) cao trong nước cam sẽ khiến axit uric lắng đọng ở khớp, gây ra sưng và đau khớp. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu được trình bày trong bảng dĩ liệu thống kê $ 2×2 $ sau đây:
Bị bệnh gout Không bị bệnh guot
Người uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày 19721 người 20128 người
Người không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày 8279 người 31872 người
a) Từ bảng dữ liệu thống kê $ 2×2 $ ở trên, bằng kiến thức về xác suất, hãy chứng tỏ rằng đối với phụ nữ từ 22 tuổi trở lên, việc uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày và việc mắc bệnh gout có liên quan với nhau.
b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số 80000 người được khảo sát.
i. Tính xác suất để người được chọn mắc bệnh gout trong trường hợp người đó uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày.
ii. Tính xác suất để người được chọn mắc bệnh gout trong trường hợp người đó không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày.
So sánh hai xác suất trên và rút ra kết luận.

Question

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $ Gout là một dạng viêm khớp gây đau khớp và sưng khớp. Bệnh xuất hiện khi hàm lượng acid uric ở trong máu tăng cao và tạo nên các tinh thể sắc nhọn tích tụ lại ở những khớp xương gây nên tình trạng sưng đỏ và đau dữ dội. Một nhóm nghiên cứu tiến hành khảo sát thói quen dinh dưỡng của 80000 phụ nữ từ 22 tuổi trở lên và nhận thấy nhưng người uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày sẽ tăng nguy cơ mắc bệnh gout, do đường hoa quả (fructose) cao trong nước cam sẽ khiến axit uric lắng đọng ở khớp, gây ra sưng và đau khớp. Kết quả khảo sát của nhóm nghiên cứu được trình bày trong bảng dĩ liệu thống kê $ 2×2 $ sau đây: Bị bệnh gout Không bị bệnh guot Người uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày 19721 người 20128 người Người không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày 8279 người 31872 người a) Từ bảng dữ liệu thống kê $ 2×2 $ ở trên, bằng kiến thức về xác suất, hãy chứng tỏ rằng đối với phụ nữ từ 22 tuổi trở lên, việc uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày và việc mắc bệnh gout có liên quan với nhau. b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số 80000 người được khảo sát. i. Tính xác suất để người được chọn mắc bệnh gout trong trường hợp người đó uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày. ii. Tính xác suất để người được chọn mắc bệnh gout trong trường hợp người đó không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày. So sánh hai xác suất trên và rút ra kết luận.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Lấy tuỳ ý một người trong 80000 phụ nữ từ 22 tuổi trở lên được khảo sát. Gọi $ A $ là biến cố: "Người được chọn mắc bệnh gout", $ B $ là biến cố: "Người được chọn uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày". Khi đó $ A∩B $ là biến cố: "Người được chọn uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày và mắc bệnh gout". Ta có $ P(A)=\frac { 19721+8279 } { 80000 }=0,35;P(B)=\frac { 19721+20128 } { 80000 }=0,4981125 \ P(A∩B)=\frac { 19721 } { 80000 }=0,2465125 $ Vì $ P(A)\cdot P(B)=0,174339375
eq P(A∩B)=0,2465125 $ nên $ A,B $ là hai biến cố không độc lập. Điều đó chứng tỏ rằng đối với phụ nư từ 22 tuổi trở lên, việc uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày và việc mắc bệnh gout có liên quan với nhau. b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số 80000 người được khảo sát. i. Ta cần tính $ P(A\|B) $. Vì $ P(B)=0,4981125>0 $ nên $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { 0,2465125 } { 0,4981125 }=\frac { 533 } { 1077 }\approx 0,495 $. ii. Ta cần tinh $ P(A\| \bar B) $. $ \bar B $ là biến cố: "Người được chọn không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày". Khi đó $ A∩ \bar B $ là biến cố: "Người được chọn không uống hoặc uống dưới 2 cốc nước cam mỗi ngày và mắc bệnh gout". Vì $ P( \bar B)>0 $ nên $ P(A\| \bar B)=\frac { P(A∩ \bar B) } { P( \bar B) }=\frac { \|A∩ \bar B\| } { \| \bar B\| }=\frac { 8279 } { 8279+31872 }\approx 0,206 $ Ta có $ \frac { P(A\|B) } { P(A\| \bar B) }\approx 2,4\Rightarrow P(A\|B)\approx 2,4\cdot P(A\| \bar B) $. Như vậy, với phụ nữ từ 22 tuổi trở lên, thói quen uống từ 2 cốc nước cam trở lên mỗi ngày làm tăng nguy cơ mắc bệnh gout lên gấp khoảng 2,4 lần.

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 23