Bài tập nâng cao · Bài 27
Dạng 7. Số điểm cực trị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 27
Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=-\frac { 1 } { ln2 } $. Hàm số $ f'\left ( { x } \right ) $ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { f\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-x ^ { 2 } +\frac { 2 ^ { x ^ { 2 } } } { ln2 } } \right | $ có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { f\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-x ^ { 2 } +\frac { 2 ^ { x ^ { 2 } } } { ln2 } } \right | $ có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Từ bảng biến thiên, ta tìm được $ f'\left ( { x } \right )=-\frac { 3 } { 4 }x ^ { 3 } +\frac { 9 } { 4 }x-\frac { 5 } { 2 } $.
Đặt $ h\left ( { x } \right )=f\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-x ^ { 2 } +\frac { 2 ^ { x ^ { 2 } } } { ln2 } $. Ta có $ h\left ( { 0 } \right )=f\left ( { 0 } \right )+\frac { 1 } { ln2 }=0 $.
$ h'\left ( { x } \right )=-2x\cdot f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-2x+2x\cdot 2 ^ { x ^ { 2 } } =-2x\left[ f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )+1-2 ^ { x ^ { 2 } } \right] $,
$ h'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )=2 ^ { x ^ { 2 } } -1\,\,(*) \right. $.
Đặt $ t=-x ^ { 2 } ,\,\,t\leq 0 $. Phương trình (*) trở thành: $ f'\left ( { t } \right )=u\left ( { t } \right ) $, với $ u\left ( { t } \right )=2 ^ { -t } -1 $
Từ đồ thị ta thấy phương trình $ f'\left ( { t } \right )=u\left ( { t } \right )\Leftrightarrow t=t_{ 0 } $, với $ t_{ 0 } < -1 $.
Từ đó, phương trình (*) $ \Leftrightarrow -x ^ { 2 } =t_{ 0 } \Leftrightarrow x=±\sqrt[] { -t_{ 0 } } $.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { h\left ( { x } \right ) } \right | $ có 5 điểm cực trị.
Đặt $ h\left ( { x } \right )=f\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-x ^ { 2 } +\frac { 2 ^ { x ^ { 2 } } } { ln2 } $. Ta có $ h\left ( { 0 } \right )=f\left ( { 0 } \right )+\frac { 1 } { ln2 }=0 $.
$ h'\left ( { x } \right )=-2x\cdot f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )-2x+2x\cdot 2 ^ { x ^ { 2 } } =-2x\left[ f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )+1-2 ^ { x ^ { 2 } } \right] $,
$ h'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ f'\left ( { -x ^ { 2 } } \right )=2 ^ { x ^ { 2 } } -1\,\,(*) \right. $.
Đặt $ t=-x ^ { 2 } ,\,\,t\leq 0 $. Phương trình (*) trở thành: $ f'\left ( { t } \right )=u\left ( { t } \right ) $, với $ u\left ( { t } \right )=2 ^ { -t } -1 $
Từ đồ thị ta thấy phương trình $ f'\left ( { t } \right )=u\left ( { t } \right )\Leftrightarrow t=t_{ 0 } $, với $ t_{ 0 } < -1 $.
Từ đó, phương trình (*) $ \Leftrightarrow -x ^ { 2 } =t_{ 0 } \Leftrightarrow x=±\sqrt[] { -t_{ 0 } } $.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left | { h\left ( { x } \right ) } \right | $ có 5 điểm cực trị.